Zadanie nr 8031050
Z pudełka, w którym jest 13 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 13, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 14.
Rozwiązanie
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest
![( 13) 13⋅1 2⋅11 ⋅10 ⋅9 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10⋅9 = -----------------= -----------------= 13 ⋅11 ⋅9. 5 5! 2⋅3 ⋅4 ⋅5](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR0x.gif)
Wypiszmy wszystkie pary różnych liczb, które w sumie dają 14.
![(1 ,1 3),(2,12),(3,11),(4,1 0),(5,9),(6,8).](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR1x.gif)
Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).
Sposób I
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje liczb i z nich musimy wybrać jeszcze trzy. Trzy pozostałe liczby możemy wybrać na
![( ) 11 11⋅ 10⋅9 3 = --2-⋅3---= 165](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR3x.gif)
sposobów. Część z tych trójek będzie jednak zła – obliczmy ile takich jest. W ’złej trójce’ musi być para liczb z sumą 14 (którą już teraz możemy wybrać tylko na 5 sposobów!) oraz jedna dodatkowa liczba. Jest więc
![5⋅ (1 3− 4) = 45](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR4x.gif)
takich trójek. W takim razie wybraną na początku parę można uzupełnić do piątki na
![1 65− 45 = 120](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR5x.gif)
sposobów. W sumie jest więc
![6⋅ 120](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR6x.gif)
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe
![-6-⋅120-- = -2⋅-40-= -80-. 13 ⋅11⋅ 9 13 ⋅11 143](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR7x.gif)
Sposób II
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie.
Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych liczb to pozostałe dwie liczby wybieramy następująco: wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na
![( ) 5 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR8x.gif)
sposobów. Gdy te pary są już wybrane, to z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb. Jest więc
![6 ⋅10 ⋅2⋅ 2 = 6 ⋅10⋅ 4](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR9x.gif)
takich układów.
Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to liczymy podobnie, najpierw wybieramy trzy pary, z których będą pochodzić pozostałe 3 liczby, a potem z każdej pary wybieramy jedną liczbę. Można to zrobić na
![(5) 5⋅4 ⋅3 6⋅ ⋅2⋅ 2⋅2 = 6⋅ -------⋅8 = 6 ⋅10 ⋅8 3 2 ⋅3](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR10x.gif)
sposobów.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
![6 ⋅10 ⋅4 + 6 ⋅10 ⋅8 8 0(3+ 6) 80 ------------------- = ---------- = ----. 13 ⋅11 ⋅9 13⋅ 11⋅9 1 43](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR11x.gif)
Sposób III
Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
. Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
: albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.
Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14 – wybieramy dwie pary spośród 6 par z sumą równą 14, a potem dobieramy 5-tą liczbę dowolnie spośród pozostałych liczb. Jest więc
![( ) 6 6⋅ 5 ⋅9 = ----⋅ 9 = 15 ⋅9 2 2](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR16x.gif)
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pochodzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.
Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe cztery liczby wybieramy 4 pary, z których będą pochodzić. Możemy to zrobić na
![( ) 6 = 6-⋅5-⋅4-⋅3 = 15 4 2⋅ 3⋅4](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR17x.gif)
sposobów. Ponadto w każdej z 4 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb. Jest więc
![15⋅ 2⋅2 ⋅2 ⋅2 = 15 ⋅16](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR18x.gif)
takich par.
Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 5 różnych par, które możemy wybrać na
![(6) 6⋅5 ⋅4 ⋅3⋅ 2 = -------------= 6 5 2 ⋅3⋅ 4⋅5](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR19x.gif)
sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc
![6 ⋅2 ⋅2⋅ 2⋅2 ⋅2 = 6 ⋅32](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR20x.gif)
takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo jest więc równe.
![′ 15-⋅9+--15⋅-16+--6⋅3-2 P (A ) = 1− P(A ) = 1− 13 ⋅11 ⋅9 = 5⋅ 9+ 5⋅16 + 2 ⋅32 189 = 1− --------------------= 1− --------- = 13 ⋅11 ⋅3 13 ⋅11 ⋅3 = 1− --63---= 1 − 63--= 80-. 13 ⋅11 143 143](https://img.zadania.info/zad/8031050/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: