Zadanie nr 9915946
Ze zbioru losujemy kolejno bez zwracania 2 liczby
i
. Dla jakich wartości
prawdopodobieństwo tego, że
jest większe od
?
Rozwiązanie
Łatwo sprawdzić, że dla prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia jest równe 0, więc możemy założyć, że
.
Sposób I
Powiedzmy, że za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy zatem
![|Ω | = n(n − 1).](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR2x.gif)
Warunek oznacza, że liczby są odległe o 2. Powinno być jasne, że liczba możliwości wyboru
dla ustalonego
zależy od tego, czy
jest blisko końca. Dokładniej rzecz biorąc, jeżeli
to istnieje tylko jedno
. W przeciwnym przypadku są dwie możliwe wartości
. Zatem jest
![4 + (n − 4) ⋅2 = 2n − 4.](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR10x.gif)
zdarzeń sprzyjających. Tutaj jest delikatne miejsce, bo przypadek lepiej rozważyć osobno (zrobimy to na koniec) – możemy więc założyć, że
i
to rzeczywiście cztery różne liczby.
Zatem prawdopodobieństwo wynosi
![P = -2n-−-4-- n(n − 1 )](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR14x.gif)
i mamy nierówność
![-2n-−-4-- 1- n(n − 1 ) > 4 2 8n − 16 > n − n 0 > n2 − 9n + 1 6 Δ = 81− 64 = 17 √ --- √ --- n1 = 9−---1-7-≈ 2,4 ∨ n2 = 9-+---17-≈ 6,6 2 2 n ∈ {4,5 ,6 }.](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR15x.gif)
Pozostało sprawdzić przypadek . Mamy dwa zdarzenia sprzyjające:
, czyli prawdopodobieństwo wynosi
![2- 1- 1- 6 = 3 > 4.](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR18x.gif)
Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy więc
![( ) n n(n-−-1)- |Ω | = 2 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR20x.gif)
Zauważmy teraz, że jest nieuporządkowanych par spełniających warunek
:
![{1,3}, {2,4} ,...,{n − 2,n} .](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR23x.gif)
Zatem prawdopodobieństwo otrzymania takiej pary jest równe
![-n-−-2- = 2-(n−--2). n(n−-1) n (n− 1) 2](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR24x.gif)
Pozostało rozwiązać nierówność
![-2n-−-4-- 1- n(n − 1 ) > 4 2 8n − 16 > n − n 0 > n2 − 9n + 1 6 Δ = 81− 64 = 17 √ --- √ --- n1 = 9−---1-7-≈ 2,4 ∨ n2 = 9-+---17-≈ 6,6 2 2 n ∈ {3,4 ,5 ,6}.](https://img.zadania.info/zad/9915946/HzadR25x.gif)
Odpowiedź: