Zadanie nr 9915946
Ze zbioru losujemy kolejno bez zwracania 2 liczby
i
. Dla jakich wartości
prawdopodobieństwo tego, że
jest większe od
?
Rozwiązanie
Łatwo sprawdzić, że dla prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia jest równe 0, więc możemy założyć, że
.
Sposób I
Powiedzmy, że za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy zatem

Warunek oznacza, że liczby są odległe o 2. Powinno być jasne, że liczba możliwości wyboru
dla ustalonego
zależy od tego, czy
jest blisko końca. Dokładniej rzecz biorąc, jeżeli
to istnieje tylko jedno
. W przeciwnym przypadku są dwie możliwe wartości
. Zatem jest

zdarzeń sprzyjających. Tutaj jest delikatne miejsce, bo przypadek lepiej rozważyć osobno (zrobimy to na koniec) – możemy więc założyć, że
i
to rzeczywiście cztery różne liczby.
Zatem prawdopodobieństwo wynosi

i mamy nierówność

Pozostało sprawdzić przypadek . Mamy dwa zdarzenia sprzyjające:
, czyli prawdopodobieństwo wynosi

Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy więc

Zauważmy teraz, że jest nieuporządkowanych par spełniających warunek
:

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania takiej pary jest równe

Pozostało rozwiązać nierówność

Odpowiedź: