/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne

Zadanie nr 2788408

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 2 (π- ) 2(π- ) 1 cos 6 + x + co s 6 − x = 2 + co sx .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

cos(α + β) = co sα cosβ − sin αsin β cos(α − β) = co sα cosβ + sin αsin β.

Przekształcamy równanie

( ) ( ) c os2 π-+ x + cos2 π-− x = 1-+ cos x 6 6 2 ( π π ) 2 ( π π )2 1 cos --cos x− sin -- sin x + cos --cosx + sin --sin x = --+ cos x ( √ -6 6) 2 ( √ -- 6 ) 2 6 2 3 1 3 1 1 ---co sx − --sinx + ----cos x+ --sin x = -+ cosx 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2-cos x+ 2-sin x = 2 + cosx 3-cos2 x+ 1(1 − co s2 x) = 1-+ cosx 2 2 2 c os2x = c osx c osx(co sx − 1) = 0 c osx = 0 ∨ cosx = 1.

Rozwiązaniami tego równania są więc liczby π- x = 2 + kπ i x = 2kπ , gdzie k ∈ C .  
Odpowiedź: x = π2-+ kπ lub x = 2kπ , gdzie k ∈ C

Wersja PDF