/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne

Zadanie nr 2955637

Rozwiąż równanie 2( 3π-) 2 2co s2x + 7 cos x − 2 = 2 + sin 2x w przedziale [0,2π ] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

( 3π ) ( ( 3π ) ) (3 π ) cos x − --- = cos − --- − x = cos --- − x = − sin x. 2 2 2

W takim razie dane równanie możemy zapisać w postaci

2 cos2x + 7 sin2x = 2+ sin 22x.

Sposób I

Widać, że jeżeli skorzystamy z jedynki trygonometrycznej oraz ze wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x,

to możemy wszystkie funkcje trygonometryczne występujące w równaniu zamienić na cos 2x .

2 2 2co s2x + 7 s(in x = 2 + s)in 2x 1−--cos2x- 2 2co s2x + 7 2 = 2+ (1− cos 2x ) / ⋅2 2 − 3cos 2x + 1 + 2co s 2x = 0

Podstawiamy teraz t = cos 2x i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2t2 − 3t+ 1 = 0 Δ = 9− 8 = 1 3-−-1- 1- 3-+-1- t = 4 = 2 lub t = 4 = 1

W takim razie cos 2x = 1 2 lub cos2x = 1 . Musimy teraz uważać, bo wprawdzie x ∈ [0 ,2π] , ale 2x ∈ [0,4π ] . Szkicujemy cosinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania

{ π- π- π- π- } 2x ∈ 0,3 ,2π − 3 ,2 π,2π + 3 ,4π − 3 ,4π { } 2x ∈ 0, π-, 5π-,2π , 7π-, 1-1π ,4π / : 2 3 3 3 3 { π 5π 7π 11 π } x ∈ 0,--,---,π ,---,----,2 π . 6 6 6 6

Sposób II

Tak jak poprzednio skorzystamy ze wzoru

2 2 co s2x = 2cos x− 1 = 1 − 2sin x,

ale tym razem spróbujemy wszystkie funkcje trygonometryczne zamienić na c osx .

2 2 2co s2x + 7 sin x = 2+ sin 2x 2(2 cos2x − 1) + 7(1 − cos2 x) = 2 + 1 − cos2 2x ( ) 2 − 3co s2 x + 2 = − 2co s2x − 1 − 3co s2 x + 2 = − 4 cos4x + 4 cos2x − 1 4 2 4co s x − 7 cos x + 3 = 0.

Podstawiamy teraz t = cos2 x i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

4t2 − 7t + 3 = 0 Δ = 49− 48 = 1 t = 7−--1-= 3- lub t = 7+--1-= 1 . 8 4 8

Mamy zatem √ - cos x = ± -23 lub cosx = ± 1 . Patrzymy na wykres cosinusa i odczytujemy rozwiązania

{ } x ∈ 0, π-,π − π-,π ,π + π-,2π − π-,2π { 6 6 6 } 6 π 5π 7π 1 1π x ∈ 0,-6,-6-,π ,-6-,--6- ,2π .

 
Odpowiedź: { π- 5π- 7π- 11π- } x ∈ 0,6 ,6 ,π , 6 , 6 ,2π

Wersja PDF