Zadanie nr 6600603

Rozwiąż równanie 4co s9x cos3x = 2co s12x − 1 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy

co s(α+ β) = cos αco sβ − sin αsin β co s(α− β) = cos αco sβ + sin αsin β.

Przekształcamy równanie.

4 cos 9xco s3x = 2cos(9x + 3x)− 1 4 cos 9xco s3x = 2cos 9x cos3x − 2 sin 9x sin3x − 1 2 cos9x cos 3x + 2 sin 9x sin 3x = −1 / : 2 1 cos(9x − 3x) = − -- 2 co s6x = − 1- 2

Szkicujemy teraz wykres cosinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania – musimy odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,π⟩ , ale 6x ∈ ⟨0,6 π⟩ .

{ } 6x ∈ π − π-,π + π-,3π − π-,3π + π-,5π − π-,5π + π- { 3 3 3 } 3 3 3 2π 4π 8π 10 π 14π 16π 6x ∈ ---,---,---,----, ----,---- / : 6 { 3 3 3 3 3 }3 π- 2π- 4π- 5π- 7π- 8π- x ∈ 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na sumę cosinusów

cosα + co sβ = 2 cos α-+-β-cos α−--β- 2 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy i tak, aby

{ α+ β -2--= 9x α−-β= 3x 2

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = 12x , β = 6x . Równanie możemy więc zapisać w postaci

12x + 6x 12x − 6x 2⋅2 cos ---------cos ---------= 2 cos12x − 1 2 2 2(cos1 2x+ cos6x ) = 2 cos12x − 1 / : 2 1 cos6x = − --. 2

Rozwiązania odczytujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: { } x ∈ π9-, 29π, 4π9-, 59π, 7π9-, 89π