Zadanie nr 8187555

Rozwiąż równanie 2 2 √ -- cos x+ 3sin x+ 2 3sin xco sx = 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy dane równanie korzystając z jedynki trygonometrycznej.

2 2 √ -- cos x + 3 sin x + 2 3 s√inx cos x = 1 1 − sin2 x+ 3sin2 x+ 2 3sin xco sx = 1 √ -- 2 sin2x + 2 3 sinx cos x = 0 ( √ -- ) 2 sinx sin x+ 3co sx = 0

Stąd sin x = 0 , czyli x ∈ {0,π ,2π }

lub

√ -- sinx + 3√cos x = 0 sinx = − 3co sx.

Zauważmy, że jeżeli co sx = 0 , to powyższe równanie jest sprzeczne (bo wtedy sin x = ± 1 ), więc możemy założyć, że co sx ⁄= 0 .

√ -- sin x = −√ -3 cosx / : cos x tg x = − 3 { } { } x ∈ π − π,2 π − π- = 2π-, 5π . 3 3 3 3

Dane równanie ma więc w przedziale ⟨0 ,2π⟩ 5 rozwiązań

{ } 2π- 5π- 0, 3 ,π, 3 ,2π .

Sposób II

Przekształcamy dane równanie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

2 2 √ -- co s x + 3√ sin x + 2 3 sin x cosx = 1 (cos x+ 3sin x)2 = 1 √ -- co sx + 3 sin x = ± 1 .

Teraz będziemy chcieli skorzystać ze wzoru sinus sumy.

√ -- co sx + 3 sin x = ± 1 / : 2 √ -- 1-cos x+ --3-sin x = ± 1- 2 2 2 π- π- 1- sin 6 ⋅ cosx + sin x⋅co s 6 = ± 2 (π ) 1 sin -- + x = ± --. 6 2

W tym miejscu łatwo o pomyłkę, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ , ale ⟨ ⟩ x + π6-∈ π6-,2π + π6- . Mamy zatem

π {π π π π π } --+ x ∈ --,π − --,π + -,2 π − --,2π + -- 6 { 6 6 6 6 } 6 x ∈ π,π − π-,π + π-,2 π − π-,2π + π- − π- { 6 6 6} 6 6 6 2π- 5π- x ∈ 0, 3 ,π, 3 ,2π .

Odpowiedź: { 2π- 5π- } x ∈ 0, 3 ,π , 3 ,2π