Zadanie nr 9288625

Rozwiąż równanie 4sin 2x+ 9tg x = 10 cosx dla x ∈ ⟨0 ,2 π⟩ .

Rozwiązanie

Ze względu na tangens musi oczywiście być co sx ⁄= 0 . Przekształcamy równanie.

4sin 2x + 9 tg x = 1 0cos x 9-sinx- 8sin xco sx + cos x = 10 cosx / ⋅cosx 2 2 8sin xco s x + 9 sin x = 1 0cos x 8sin x(1 − sin2x )+ 9 sinx = 10(1 − sin 2x).

Widać, że możemy podstawić t = sinx .

8t(1 − t2)+ 9t = 10(1 − t2) 8t − 8t3 + 9t = 10 − 10t2 3 2 8t − 10t − 17t+ 10 = 0.

Teraz trudny moment, bo musimy znaleźć pierwiastek wymierny tego równania. Najpierw szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając po kolei można znaleźć pierwiastek t = 2 . Dzielimy teraz równanie przez t − 2 – my zrobimy to grupując wyrazy.