/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne

Zadanie nr 9294929

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 8√-3sin2x−-9 sin2x = 4sin2x , gdzie π- x ∈ (0, 2) .

Rozwiązanie

Na początku zauważmy, że w podanym przedziale mianownik się nie zeruje, więc nie mamy kłopotu z dziedziną. Podstawiamy t = sin 2x i przekształcamy

√ -- 8--3t-−-9- t = 4t 2 √ -- 4t = 8√ 3t − 9 4t2 − 8 3t+ 9 = 0 / : 4 -- t2 − 2√ 3t+ 9-= 0 4 Δ = 12− 9 = 3 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- 2--3-−---3- --3- 2--3-+---3- 3--3- t = 2 = 2 ∨ t = 2 = 2 .

Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo jest większe od 1 i dostajemy

√ -- --3- sin 2x = 2 .

Teraz trzeba trochę uważać, bo niby szukamy rozwiązań w przedziale (0, π) 2 , ale 2x może już być w przedziale (0,π ) . Daje to nam dwa rozwiązania.

π 2π 2x = -- ∨ 2x = --- π3 π 3 x = -- ∨ x = --. 6 3

 
Odpowiedź: π- x = 6 lub π- x = 3

Wersja PDF