/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne

Zadanie nr 9685582

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x , spełniające równanie

cosx + sin 3x = sin x+ cos3x .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na różnicę sinusów i różnicę cosinusów.

sin 3x − sin x = cos 3x − cos x 3x−--x- 3x-+--x 3x-−--x 3x-+-x- 2 sin 2 cos 2 = − 2 sin 2 sin 2 / : 2 sin x cos2x + sin x sin 2x = 0 sin x(co s2x + sin 2x) = 0.

Otrzymujemy stąd x = kπ lub

( π ) 0 = cos 2x+ sin 2x = cos2x + cos --− 2x 2 2x-+--π2-−-2x- 2x-−-π2 +-2x- 0 = 2co s 2 cos 2 π ( π ) 0 = 2co s-- cos 2x− -- = 0 ( 4 π ) 4 0 = cos 2x − -- = 0 4 2x− π- = π- + kπ 4 2 3-π 3π- kπ- 2x = 4 + kπ ⇐ ⇒ x = 8 + 2 .

 
Odpowiedź: x = kπ lub x = 3π-+ kπ- 8 2 , k ∈ Z

Wersja PDF