/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Nierówności

Zadanie nr 1113422

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru liczb {1,2,3,...,n } , dla n ≥ 4 losujemy bez zwracania dwie liczby a i b . Oblicz n jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że wylosowane liczby a i b spełniają nierówność

|a − b| > 3

jest równe 50 63 .

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarny przyjmijmy nieuporządkowane pary {a ,b} wylosowanych liczb. Zatem

( ) n n(n-−-1)- |Ω | = 2 = 2 .

Jest bardzo dużo zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A opisanemu w treści zdania, więc zamiast się nim zajmować, zastanówmy się nad zdarzeniem przeciwnym ′ A , czyli nad sytuacją, gdy

|a − b| ∈ {1,2,3}

(różnica nie może być zerem, bo losujemy dwie różne liczby). Ponieważ nie interesuje nas kolejność wylosowanych liczb, jest dokładnie n− 1 par spełniających warunek |a− b| = 1 :

{1,2}, {2,3} ,...,{n − 1,n} .

Analogicznie, jest n − 2 zdarzeń, w których |a− b| = 2 :

{1,3} , {2 ,4},...,{n − 2,n }

i n − 3 zdarzeń, w których |a − b| = 3 :

{1,4}, {2,5} ,...,{n − 3,n} .

Stąd

P (A ′) = (n−--1)+--(n−--2)+--(n-−-3)-= 2(3n-−-6)-= 6n-−-12- n(n−-1) n(n − 1) n 2 − n 2

i

′ 6n-−--12 n2 −-7n-+-12- P(A ) = 1 − P (A ) = 1 − n2 − n = n2 − n .

Pozostało rozwiązać równanie

n 2 − 7n + 12 5 0 -----2------- = --- n − n 6 3 63n2 − 441n + 756 = 50n 2 − 50n 2 13n − 391n + 756 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 Δ = 391 − 4⋅ 13⋅7 56 = 1528 81− 39312 = 113569 = 337 391 − 337 54 27 391 + 3 37 7 28 n = ----------= ---= --- lub n = ---------- = ---- = 28 . 2 6 26 13 26 26

Interesują nas tylko rozwiązania całkowite, więc n = 28 .  
Odpowiedź: n = 28

Wersja PDF