Zadanie nr 1113422
Ze zbioru liczb , dla
losujemy bez zwracania dwie liczby
i
. Oblicz
jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że wylosowane liczby
i
spełniają nierówność
![|a − b| > 3](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadT7x.png)
jest równe .
Rozwiązanie
Za zdarzenia elementarny przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Zatem
![( ) n n(n-−-1)- |Ω | = 2 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR1x.png)
Jest bardzo dużo zdarzeń sprzyjających zdarzeniu opisanemu w treści zdania, więc zamiast się nim zajmować, zastanówmy się nad zdarzeniem przeciwnym
, czyli nad sytuacją, gdy
![|a − b| ∈ {1,2,3}](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR4x.png)
(różnica nie może być zerem, bo losujemy dwie różne liczby). Ponieważ nie interesuje nas kolejność wylosowanych liczb, jest dokładnie par spełniających warunek
:
![{1,2}, {2,3} ,...,{n − 1,n} .](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR7x.png)
Analogicznie, jest zdarzeń, w których
:
![{1,3} , {2 ,4},...,{n − 2,n }](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR10x.png)
i zdarzeń, w których
:
![{1,4}, {2,5} ,...,{n − 3,n} .](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR13x.png)
Stąd
![P (A ′) = (n−--1)+--(n−--2)+--(n-−-3)-= 2(3n-−-6)-= 6n-−-12- n(n−-1) n(n − 1) n 2 − n 2](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR14x.png)
i
![′ 6n-−--12 n2 −-7n-+-12- P(A ) = 1 − P (A ) = 1 − n2 − n = n2 − n .](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR15x.png)
Pozostało rozwiązać równanie
![n 2 − 7n + 12 5 0 -----2------- = --- n − n 6 3 63n2 − 441n + 756 = 50n 2 − 50n 2 13n − 391n + 756 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR16x.png)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 2 Δ = 391 − 4⋅ 13⋅7 56 = 1528 81− 39312 = 113569 = 337 391 − 337 54 27 391 + 3 37 7 28 n = ----------= ---= --- lub n = ---------- = ---- = 28 . 2 6 26 13 26 26](https://img.zadania.info/zad/1113422/HzadR17x.png)
Interesują nas tylko rozwiązania całkowite, więc .
Odpowiedź: