Zadanie nr 4684596
Ze zbioru losujemy ze zwracaniem dwie liczby:
i
. Rozważmy zdarzenia
:
jest liczbą parzystą;
:
.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .
Rozwiązanie
Ponieważ losujemy ze zwracaniem wygodnie będzie nam myśleć o parach . W podanym zbiorze jest
liczb, więc

Pozostało teraz policzyć ile jest par spełniających podane dwa warunki.
Sposób I
Policzmy ile jest takich par, patrząc na kolejne możliwe wartości .
Jeżeli to musi być
, czyli mamy dwie pary.
Jeżeli to musi być
(bo suma ma być parzysta i suma wartości bezwzględnych ma być nie większa od
), czyli mamy cztery takie pary (mamy dwie możliwości wyboru znaku na każdej współrzędnej).
Jeżeli to musi być
lub
. Daje to nam 6 par: dwie z
, i 4 z
.
Jeżeli to musi być
lub
. Daje nam to
możliwości (wybieramy znak przy pierwszej liczbie, znak przy drugiej liczbie i jeszcze drugą liczbę).
Powinno być już widać co jest grane, ale sprawdźmy ogólnie dla .
Jeżeli jest parzyste i
, to
może być jedną z liczb
. Daje nam to

(pierwsza dwójka to wybór znaku przy ,
to liczba możliwości wyboru
).
Jeżeli natomiast jest nieparzyste to
jest jedną z liczb
. Mamy

takich par (bo liczb jest
).
Popatrzmy jeszcze osobno co się dzieje dla . Wtedy
jest dowolną liczbą parzystą z danego zbioru, więc jest
takich par.
W sumie mamy więc

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

Sposób II
Największy problem w powyższym rachunku to zabawa z możliwymi znakami wylosowanych liczb. Można jednak łatwo się tego problemu pozbyć, jeżeli będziemy liczyć trochę sprytniej. Pomysł jest taki, żeby policzyć pary z dodatnimi liczbami, a potem uwzględnić możliwe wybory znaków. Aby się nie pogubić rozważmy niektóre sytuacje osobno.
Jest jedna para z dwoma zerami: .
Jeżeli dokładnie jedna z liczb lub
jest zero, to liczba niezerowa musi być parzysta i mamy
możliwości (nie może być 0!). Musimy jednak tę liczbę pomnożyć przez 2, co odpowiada wyborowi, która współrzędna ma być równa 0. W sumie jest więc
liczb z jednym zerem.
Całą resztę jest już dość łatwo policzyć. Będziemy liczyć pary gdzie
, a potem wynik przemnożymy przez 4 (co odpowiada możliwym zmianom znaków). Liczbę
możemy wybrać na
sposobów (od 1 do
). Policzmy ile można do niej dobrać liczb
.
Jeżeli jest parzyste, to
może być równe
, co daje nam
możliwości.
Jeżeli natomiast jest nieparzyste, to
może być równe
. Daje nam to
możliwości.
Pozostało teraz przesumować te liczby zmieniając od 1 do

Na koniec mnożymy wynik przez 4 i mamy par z niezerowymi współrzędnymi. W sumie jest więc

Prawdopodobieństwo liczymy jak wcześniej.
Odpowiedź: