Zadanie nr 7113835
Ze zbioru losujemy kolejno 3 liczby (mogą się powtarzać). Wyznacz prawdopodobieństwo wyboru takiej trójki
liczb, dla której
.
Rozwiązanie
Sposób I
Możliwości wylosowania trzech liczb jest

Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających.

i tak dalej – wypisywanie zaczyna już być niewygodne, więc spróbujmy to zrobić trochę mądrzej. Zauważmy, że jak trójka jest dobra to trójka
też jest dobra dla
. Spróbujemy więc teraz wypisać tylko te trójki
dla których trójka
jest zła – wypisujemy tylko nowe pary
.

Innymi słowy, jeżeli jest liczbą trójek takich, że
to
. Ile jest zdarzeń sprzyjających? Dla ustalonego
jest ich
, czyli w sumie mamy

Zatem prawdopodobieństwo wynosi

Sposób II
Mądrzejsi o rachunki z poprzedniego podpunktu, możemy obyć się bez wypisywania zdarzeń. Jak poprzednio oznaczmy przez liczbę par
o sumie
. Ponieważ
możemy wybrać na
sposobów, a
jest jednoznacznie wyznaczony przez
, mamy
. Ile jest zdarzeń sprzyjających
, w których
? – jest ich
, bo na tyle sposobów można dobrać
. Razem mamy zatem (biorąc
)

zdarzeń sprzyjających. Dalej liczymy jak poprzednio.
Odpowiedź: