Zadanie nr 7721149
Z ustalonego zbioru liczb rzeczywistych losujemy kolejno
liczb, otrzymując ciąg różnowartościowy
. Zakładając, że
, oblicz prawdopodobieństwo, że ten ciąg nie jest ciągiem rosnącym.
Rozwiązanie
Sposób I
Ciąg elementowy ze zbioru
elementowego można wybrać na

sposobów. Zamiast liczyć szukane prawdopodobieństwo , policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
, tzn. zdarzenia w którym ciąg jest rosnący. Ile jest takich zdarzeń? – tyle ile podzbiorów
elementowych w zbiorze
elementowym (bo po wybraniu podzbioru kolejność liczba jest już ustalona). Mamy zatem

Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc

Sposób II
Tak jak poprzednio liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego . Możemy wszystkie zdarzenia elementarne (wszystko jedno ile ich jest) pogrupować w zbiory zdarzeń, które odpowiadają permutacjom jednego ciągu. W każdej takiej grupie jest
zdarzeń i jest dokładnie jedno zdarzenie sprzyjające
, zatem

(można myśleć, że jest to wzór na prawdopodobieństwo całkowite, ale lepiej myśleć, że to zdrowy rozsądek).
Odpowiedź: