Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7861512

Ze zbioru {−n ,− (n − 1),...,− 1,0,1,...,n − 1 ,n } , gdzie n ≥ 1 losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać). Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wartości bezwzględnych wylosowanych liczb jest nie większa niż n .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Ponieważ losujemy ze zwracaniem wygodnie będzie nam myśleć o parach (a,b) . W podanym zbiorze jest 2n + 1 liczb, więc

|Ω | = (2n+ 1)⋅ (2n + 1) = (2n + 1)2.

Pozostało teraz policzyć ile jest par (a,b) spełniających podany warunek.

Sposób I

Policzmy ile jest takich par, patrząc na kolejne możliwe wartości a .
Jeżeli a = ±n to musi być b = 0 , czyli mamy dwie pary.
Jeżeli a = ±(n − 1) to musi być b = 0 lub b = ± 1 (bo suma wartości bezwzględnych ma być nie większa od n ), czyli mamy sześć takich par (mamy 2 możliwości wyboru znaku na pierwszej współrzędnej i 3 możliwości wyboru drugiej współrzędnej).
Jeżeli a = ±(n − 2) to musi być b = 0,± 1,± 2 . Daje to nam 10 par.
Jeżeli a = ±(n − 3) to musi być b = 0,± 1,± 2,± 3 . Daje nam to

2 + 2 ⋅6 = 14

możliwości (najpierw liczymy pary z zerem, potem wybieramy znak przy pierwszej współrzędnej i wybieramy drugą liczbę).

Powinno być już widać co jest grane, ale sprawdźmy ogólnie dla a = ±(n − k) .

Jeżeli k < n , to b może być jedną z liczb 0,± 1,...,±k . Daje nam to

2+ 2⋅ 2k = 2 + 4k

możliwości (pierwsza dwójka to pary z zerem, dalej mamy wybór znaku przy a i 2k możliwości wyboru b ).

Popatrzmy jeszcze osobno co się dzieje dla k = n . Wtedy a = 0 i b jest dowolną liczbą z danego zbioru, więc jest 2n + 1 takich par.

W sumie mamy więc

2+ 6+ 10+ 14+ ⋅⋅⋅+ (2 + 4 (n− 1))+ 2n+ 1 = 2-+-(2-+-4(n-−-1))- = 2 ⋅n + 2n + 1 = (1+ 1+ 2n − 2)n + 2n + 1 = 2 2 = 2n + 2n + 1 = 2n + 2n + 1

zdarzeń sprzyjających. Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

 2n2 + 2n + 1 P = ----------2--. (2n + 1)

Sposób II

Największy problem w powyższym rachunku to zabawa z możliwymi znakami wylosowanych liczb. Można jednak łatwo się tego problemu pozbyć, jeżeli będziemy liczyć trochę sprytniej. Pomysł jest taki, żeby policzyć pary z dodatnimi liczbami, a potem uwzględnić możliwe wybory znaków. Aby się nie pogubić rozważmy niektóre sytuacje osobno.

Jest jedna para z dwoma zerami: (0,0) .

Jeżeli dokładnie jedna z liczb a lub b jest zero, to drugą liczbę możemy wybrać na 2n sposobów (nie może być 0!). Musimy jednak tę liczbę możliwości pomnożyć przez 2, co odpowiada wyborowi, która współrzędna ma być równa 0. W sumie jest więc 4n par z jednym zerem.

Całą resztę jest już dość łatwo policzyć. Będziemy liczyć pary (a,b) gdzie a ,b > 0 , a potem wynik przemnożymy przez 4 (co odpowiada możliwym zmianom znaków). Liczbę a możemy wybrać na n sposobów (od 1 do n ). Przy ustalonej liczbie a , liczba b może być jedną z liczb 1,2,3 ,⋅⋅⋅,n − a .

Pozostało teraz przesumować te liczby zmieniając a od 1 do n

(n− 1)+ (n − 2)+ ⋅⋅⋅+ 2+ 1 = n − 1 + 1 n(n − 1) = ----------⋅(n − 1) = ---------. 2 2

Na koniec mnożymy wynik przez 4 i mamy 2n(n − 1) par z niezerowymi współrzędnymi. W sumie jest więc

 2 2 1+ 4n + 2n(n − 1) = 1+ 4n + 2n − 2n = 2n + 2n + 1 .

Prawdopodobieństwo liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 2n2+2n+-1 (2n+1)2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!