/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Czworościan foremny

Zadanie nr 2444423

Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego. Podaj przybliżoną miarę tego kąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Ponieważ płaszczyzna AP D , przechodząca przez krawędź AD i środek krawędzi BC jest prostopadła do krawędzi BC , kąt o którym mowa w treści zadania to dokładnie kąt ∡AP D . Jego cosinus możemy łatwo obliczyć z trójkąta prostokątnego PDQ , gdzie DQ jest wysokością czworościanu. Ponieważ punkt Q jest środkiem trójkąta ABC , dzieli on odcinek AP w stosunku 2:1, czyli

QP = 1h, 3

gdzie h to wysokość trójkąta równobocznego ABC . Ponadto DP = h , czyli

 1 QP-- 3h- 1- co sα = DP = h = 3.

Z tablic odczytujemy, że α ≈ 71 ∘ .  
Odpowiedź: cosα = 1 3 , α ≈ 71∘

Wersja PDF
spinner