Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2530955

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.


PIC


  • Łączymy punkt P z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
    PABC = PABP + PBCP + PCAP .
  • Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
    1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2
  • Wnioskujemy, że h 1 + h 2 + h 3 = h , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu P .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu P .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Postępujemy analogicznie.


PIC


Łącząc punkt P z wierzchołkami czworościanu, otrzymujemy 4 czworościany ABCP , BCDP , CDAP , ABDP . Jeśli przez S oznaczymy pole powierzchni każdej ze ścian czworościanu ABCD , h ,h ,h ,h 1 2 3 4 są odległościami punktu P od ścian czworościanu, a h wysokością czworościanu to mamy równość objętości

VABCD = VABCP + VBCDP + VCDAP + VABDP 1- 1- 1- 1- 1- 3 Sh = 3 Sh1 + 3 Sh2 + 3 Sh3 + 3Sh 4 h = h + h + h + h . 1 2 3 4

Tak jak w przypadku trójkąta, ponieważ suma ta jest równa wysokości czworościanu, nie zależy ona od wyboru punktu P .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!