/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Czworościan foremny

Zadanie nr 4926794

Czworościan foremny przecięto płaszczyzną π styczną do kuli wpisanej w ten czworościan (tzn. kuli stycznej do wszystkich ścian czworościanu) oraz równoległą do jednej ze ścian czworościanu. Oblicz stosunek objętości brył, na które płaszczyzna π podzieliła czworościan.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Próbujemy naszkicować opisaną sytuację. Niech S będzie środkiem kuli wpisanej w czworościan, a P punktem wspólnym płaszczyzny π i wysokości DG czworościanu.

PIC

Rozpocznijmy od obliczenia długości wysokości DG czworościanu oraz promienia SG kuli wpisanej w ten czworościan.

Przyprostokątna AG trójkąta prostokątnego AGD to 2 3 wysokości AE trójkąta równobocznego ABC , więc

-- -- 2 a√ 3 a √ 3 AG = --⋅ -----= -----. 3 2 3

Stąd

∘ ------------- ∘ -------2- √ -- DG = AD 2 − AG 2 = a2 − 3a--= a--6. 9 3

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów prostokątnych DGE i DF S .

DG-- = DF-- DE√ - DS a--6 -3√-- = AG-- a--3 DS 2√ -- √ - √ -- √ -- 2 2 a3-3 a 3 3 a 6 --3--= DS-- ⇒ DS = -3---⋅-√---= --4--. 2 2

Stąd

√ -- √ -- √ -- SG = DG − DS = a--6-− a--6-= a---6 3√ -- 4√ -- 1 2√ -- a 6 a 6 a 6 DP = DG − 2SG = -----− -----= -----. 3 6 6

To oznacza, że czworościan odcięty płaszczyzną π jest podobny do całego czworościanu w skali

a√-6 k = DP--= -√6- = 1. DG a--6 2 3

Jego objętość V1 stanowi więc 1 8 objętości V dużego czworościanu. Interesujący nas stosunek objętości jest więc równy

1 ---V1-- = 8V--= 1. V − V1 7V 7 8

 
Odpowiedź: 1 : 7

Wersja PDF