Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Czworościan foremny, 5669484

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Czworościan foremny

Zadanie nr 5669484

Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ .

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek.

Niech $O$ będzie środkiem czworościanu (tzn. $O$ jest punktem przecięcia się wysokości $AF$ i $DS$ czworościanu). Ze względu na symetrię czworościanu foremnego (z każdej strony wygląda tak samo), odległość punktu $O$ od wszystkich wierzchołków czworościanu jest taka sama (jest to środek sfery opisanej na czworościanie). To oznacza, że wszystkie trójkąty, których wierzchołkami są dwa wierzchołki czworościanu i punkt $O$ (czyli trójkąty $AOB ,BOC$ , itd.) są przystające. To z kolei oznacza, że odległość punktu $O$ od każdej krawędzi czworościanu jest taka sama, czyli punkt $O$ jest środkiem interesującej nas kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu.

Interesujący nas promień $OG$ kuli stycznej do krawędzi czworościanu obliczymy z trójkąta prostokątnego $AOG$ , ale do tego potrzebujemy obliczyć długość promienia $R = OA = OD$ promienia sfery opisanej na czworościanie. To z kolei zrobimy z podobieństwa trójkątów $DF O$ i $DSE$ . Zatem do dzieła.