Zróbmy rysunek.
Niech będzie środkiem czworościanu (tzn.
jest punktem przecięcia się wysokości
i
czworościanu). Ze względu na symetrię czworościanu foremnego (z każdej strony wygląda tak samo), odległość punktu
od wszystkich wierzchołków czworościanu jest taka sama (jest to środek sfery opisanej na czworościanie). To oznacza, że wszystkie trójkąty, których wierzchołkami są dwa wierzchołki czworościanu i punkt
(czyli trójkąty
, itd.) są przystające. To z kolei oznacza, że odległość punktu
od każdej krawędzi czworościanu jest taka sama, czyli punkt
jest środkiem interesującej nas kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu.
Interesujący nas promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu obliczymy z trójkąta prostokątnego
, ale do tego potrzebujemy obliczyć długość promienia
promienia sfery opisanej na czworościanie. To z kolei zrobimy z podobieństwa trójkątów
i
. Zatem do dzieła.
Obliczamy najpierw długość wysokości czworościanu
Teraz korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych i
.
Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .
Odpowiedź: