Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5669484

Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości a .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zróbmy rysunek.


PIC


Niech O będzie środkiem czworościanu (tzn. O jest punktem przecięcia się wysokości AF i DS czworościanu). Ze względu na symetrię czworościanu foremnego (z każdej strony wygląda tak samo), odległość punktu O od wszystkich wierzchołków czworościanu jest taka sama (jest to środek sfery opisanej na czworościanie). To oznacza, że wszystkie trójkąty, których wierzchołkami są dwa wierzchołki czworościanu i punkt O (czyli trójkąty AOB ,BOC , itd.) są przystające. To z kolei oznacza, że odległość punktu O od każdej krawędzi czworościanu jest taka sama, czyli punkt O jest środkiem interesującej nas kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu.

Interesujący nas promień OG kuli stycznej do krawędzi czworościanu obliczymy z trójkąta prostokątnego AOG , ale do tego potrzebujemy obliczyć długość promienia R = OA = OD promienia sfery opisanej na czworościanie. To z kolei zrobimy z podobieństwa trójkątów DF O i DSE . Zatem do dzieła.

Obliczamy najpierw długość wysokości czworościanu

 ┌ ------------------ ∘ ------------ ││ ( √ --)2 ∘ -------2- √ -- DS = AD 2 − AS 2 = ∘ a2 − 2-⋅ a-3- = a2 − 3a--= --6a. 3 2 9 3

Teraz korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych DF O i DSE .

DO DE ---- = ---- DF DS DE--⋅DF-- DE--⋅ 23DE- 2- DE--2 DO = DS = DS = 3 ⋅ DS 3a2- DO = 2-⋅√-4- = 2-⋅ 3-⋅√3-a = -3√--a. 3 --6a 3 4 6 2 6 3

Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOG .

 ∘ ------------ ∘ -----------2 ∘ ------ ∘ --- √ -- OG = OA 2 − AG 2 = --9-a 2 − a-= a 3− 2-= a -2-= a--2-. 4 ⋅6 4 8 8 16 4

 
Odpowiedź: a√-2 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!