Zróbmy rysunek.

Niech będzie środkiem czworościanu (tzn. jest punktem przecięcia się wysokości i czworościanu). Ze względu na symetrię czworościanu foremnego (z każdej strony wygląda tak samo), odległość punktu od wszystkich wierzchołków czworościanu jest taka sama (jest to środek sfery opisanej na czworościanie). To oznacza, że wszystkie trójkąty, których wierzchołkami są dwa wierzchołki czworościanu i punkt (czyli trójkąty , itd.) są przystające. To z kolei oznacza, że odległość punktu od każdej krawędzi czworościanu jest taka sama, czyli punkt jest środkiem interesującej nas kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu.

Interesujący nas promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu obliczymy z trójkąta prostokątnego , ale do tego potrzebujemy obliczyć długość promienia promienia sfery opisanej na czworościanie. To z kolei zrobimy z podobieństwa trójkątów i . Zatem do dzieła.

Obliczamy najpierw długość wysokości czworościanu

Teraz korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych i .

Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .

 
Odpowiedź: