Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6097739

Środki ścian czworościanu foremnego T 1 są wierzchołkami czworościanu T 2 . Oblicz stosunek objętości czworościanów T1 i T2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy czworościan foremny.


PIC


Obliczymy długość jednej z krawędzi, powiedzmy KL , mniejszego czworościanu KLMN w zależności od długości a krawędzi dużego czworościanu ABCD . Punkty K i L leżą na wysokościach DE i DF trójkątów równobocznych ABD i BCD i dzielą je w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka D ). To oznacza, że trójkąty DKL i DEF są podobne w skali 2:3. W szczególności

KL = 2EF . 3

Odcinek EF to odcinek łączący środki boków w trójkącie ABC , więc

 2 2 1 1 KL = -EF = --⋅-AC = --a. 3 3 2 3

Oczywiście dokładnie w ten sam sposób możemy obliczyć długości pozostałych krawędzi czworościanu KLMN , więc czworościan ten też jest czworościanem foremnym, ale 3 razy mniejszym od czworościanu ABCD . W takim razie jego objętość jest 33 = 27 razy mniejsza od objętości czworościanu ABCD .  
Odpowiedź: -1 27

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!