/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Czworościan foremny

Zadanie nr 9878711

We wnętrzu sześcianu umieszczono czworościan foremny w ten sposób, że wszystkie krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu. Wyznacz stosunek objętości czworościanu do objętości sześcianu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi sześcianu. Objętość sześcianu jest więc równa V 2 = a3 .

Sposób I

Zauważmy, że czworościan ACED możemy otrzymać odcinając od sześcianu cztery ostrosłupy (naroża) takie jak ABCE . Objętość jednego takiego ostrosłupa jest równa

1⋅ PABC ⋅BE = 1-⋅ 1a2 ⋅a = 1-a3. 3 3 2 6

Objętość czworościanu ACED jest więc równa

1 1 V 1 = a3 − 4⋅ -a3 = --a3 6 3

i interesujący nas stosunek objętości jest równy

1a3 V1-= 3---= 1. V2 a3 3

Sposób II

Tym razem będziemy mniej sprytni i bardziej wprost obliczymy objętość czworościanu ACED . Jego podstawą jest trójkąt równoboczny ACE o boku długości √ -- a 2 i polu

√ -- √ -- √ -- (a--2)2--3- a2--3- Pp = 4 = 2 .

Wysokość DS można obliczyć na różne sposoby – my patrzymy na trójkąt prostokątny DSE .

√ --√ -- √ -- 2 a 2⋅ 3 a 6 SE = --⋅----------= ----- 3 2 ∘ 3---------- ∘ ----- √ --- ∘ ----2-----2 2 6a2- 12a-2 a--12- DS = DE − SE = 2a − 9 = 9 = 3 .

Objętość czworościanu ACED jest więc równa

√ -- √ --- 1- 1- a2--3- a--12- 1-3 V1 = 3 Pp ⋅DS = 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3a

i interesujący nas stosunek objętości jest równy

V1 13a3 1 ---= -3--= -. V2 a 3

 
Odpowiedź: 1 3

Wersja PDF