/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 2137854

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego przekątna ma długość 6 dm. Oblicz, jakie jest największe możliwe pole powierzchni tego okna.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że

AB--−-CD-- AE = 2 ,

więc jeżeli oznaczymy BE = x , to

x = BE = CD + AE = CD + AB--−-CD-- = AB-+--CD-- 2 2

i pole trapezu jest równe

∘ -------- ∘ ---------- P(x ) = AB--+-CD--⋅h = xh = x 36 − x2 = 36x2 − x 4. 2

Musimy ustalić jaka jest największa możliwa wartość tej funkcji dla x ∈ (0,6) (bo BE < BD ). Funkcja √ -- y = x jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją

f(x ) = 36x2 − x4.

Liczymy pochodną

′ 3 2 √ -- √ -- f (x) = 72x − 4x = − 4x (x − 18) = − 4x(x − 3 2)(x + 3 2).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale √ -- (0,3 2) i ujemna w przedziale (3 √ 2,6) . To oznacza, że funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale √ -- (0 ,3 2⟩ i malejąca w przedziale √ -- ⟨3 2,6) . To oznacza, że największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla √ -- x = 3 2 . Pole jest wtedy równe

√ -- ∘ -------- √ --√ -------- √ -- √ --- P (3 2) = x 36 − x2 = 3 2⋅ 36− 18 = 3 2 ⋅ 18 = 3⋅6 = 18.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez α miarę kąta między przekątnymi trapezu, to na mocy wzoru na pole czworokąta z przekątnymi, mamy

1 1 PABCD = --AC ⋅BD sin α ≤ -⋅ 6⋅6 = 18. 2 2

Równość zachodzi w tej nierówności, gdy sin α = 1 , czyli gdy przekątne trapezu są prostopadłe. Pole ma taką wartość np. dla kwadratu o boku √ --- √ -- 18 = 3 2 .  
Odpowiedź: 2 18 dm

Wersja PDF