/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 2640342

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 12. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S1 i promieniu x oraz drugi o środku S2 i promieniu 3x , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 12;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Z rysunku powinno być jasne, że SS 1 = 12 − x , SS2 = 1 2− 3x i S1S2 = 4x .

Pole trójkąta o bokach a,b,c można obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

W naszej sytuacji mamy

p = 12-−-x-+-12-−-3x-+-4x- = 12 ∘ --------2----------------------------------- P(x ) = ∘ 12(12-−-(12-−-x ))(12− (12− 3x))(12 − 4x ) = 2 √ -------- = 36x (12− 4x) = 6x 12− 4x.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,3) (łatwo sprawdzić, że dla x = 3 punkty S ,S 1,S2 leżą na jednej prostej).

Liczymy teraz pochodną funkcji

1 2 2 2 3 f(x) = 108P (x) = x (3 − x) = 3x − x ′ 2 f (x) = 6x − 3x = − 3x(x − 2 ).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia na przedziale (0 ,2) i ujemna na przedziale (2 ,3) . To oznacza, że funkcja f (a więc też funkcja P ) rośnie na przedziale (0 ,2⟩ i maleje ⟨2,3) . W takim razie największe pole otrzymamy dla x = 2 . Jest ono wtedy równe

√ -------- √ ------- P (2) = 6x 1 2− 4x = 12 1 2− 8 = 24.

Boki trójkąta mają wtedy długości 10,6,8 (jest to więc trójkąt prostokątny).  
Odpowiedź: √ -------- P (x) = 6x 12− 4x dla x ∈ (0 ,3) , Pmax = P(2) = 2 4 , boki: 6, 8, 10.

Wersja PDF