/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 3020043

  • Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b spełniona jest nierówność
    a-+-b- √ --- 2 ≥ ab
  • W zbiorze prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu R znajdź prostokąt o największym polu.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Przekształcamy równoważnie daną nierówność
    a+--b- √ --- 2 ≥ ab /⋅ 2 √ --- 2 a + b ≥ 2 ab / () a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab 2 2 a − 2ab + b ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0.

    Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc dana nierówność też musi być prawdziwa. Zauważmy jeszcze, że nierówność staje się równością tylko w jednej sytuacji: gdy a = b .

  • Oznaczmy przez x i y długości boków prostokąta wpisanego w okrąg o promieniu R .
    PIC

    Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa

    x2 + y2 = (2R )2 = 4R 2.

    Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na kilka sposobów..

    Sposób I

    Jeżeli podstawimy w nierówności z podpunktu a) liczby a = x2 i b = y2 mamy

    ∘ ----- 2 2 2 xy = x2y2 ≤ x--+-y--= 4R-- = 2R 2. 2 2

    Zatem pole prostokąta nie może być większe niż 2R 2 i wiemy, że równość może zachodzić tylko w jednym przypadku, gdy

    a = b x 2 = y2 √ -- x 2 + x 2 = 4R 2 ⇐ ⇒ x = 2R .

    Sposób II

    Analogicznie jak w poprzednim podpunkcie, można uzasadnić nierówność

    ∘ -------- a2 + b 2 √ --- -------≥ ab 2

    (nierówność między średnimi: kwadratową i geometryczną) i podobnie jak w przypadku nierówności z podpunktu a) równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a = b . Na mocy tej nierówności mamy

    2 2 2 x--+-y-- 4R-- 2 xy ≤ 2 = 2 = 2R ,

    przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = y .

    Sposób III

    Wiemy, że x2 + y2 = 4R 2 , a chcemy znaleźć maksimum funkcji

    f(x ,y) = xy.

    Ponieważ funkcja y = x 2 jest rosnąca dla x ≥ 0 , więc zamiast szukać maksimum funkcji f , możemy szukać maksimum funkcji

    2 2 2 2 2 2 g(x ,y ) = [f(x,y)] = x y = x (4R − x ).

    Jeżeli myślimy o tym wyrażeniu jak o funkcji zmiennej t = x2 to wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Zatem największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami

    0 + 4R 2 x 2 = t = --------= 2R 2 √ -- 2 x = 2R .

    Sposób IV

    Oznaczmy miarę kąta między przekątnymi prostokąta przez α ∈ (0, π2-⟩ . Ze wzoru na pole równoległoboku z przekątnymi mamy

    1 P = -⋅ 2R ⋅2R ⋅sin α = 2R 2sin α. 2

    Ponieważ funkcja y = sin α jest rosnąca w pierwszej ćwiartce, największą wartość pola otrzymamy gdy, α = π2- . Wtedy czworokąt jest rombem wpisanym w okrąg, czyli musi to być kwadrat.  
    Odpowiedź: Kwadrat o boku √ -- 2R .

Wersja PDF