Zadanie nr 3385380

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ABC ( |AB | = |AC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 2 . Niech oznacza długość ramienia trójkąta.

Wykaż, że pole każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości , wyraża się wzorem .
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz długość ramienia tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Jeżeli oznaczmy i , to pole trójkąta jest równe
$1 1 P = --BC ⋅ BA sin α = --adsin α. 2 2$

Spróbujemy tak przekształcić to wyrażenie, żeby pozbyć się i i . Z kątem jest łatwo – na mocy twierdzenia sinusów

$d d sin-α-= 2R = 4 ⇒ sin α = 4.$

Żeby pozbyć się , patrzymy na trójkąt prostokątny .

$a 2- d = cosα ⇒ a = 2d cosα ( d2 ) a2 = 4d2 cos2α = 4d2(1− sin 2α) = 4d2 1 − --- -------- 16 ∘ 16 − d2 d∘ -------- a = 2d --------= -- 16− d2. 1 6 2$

Pole trójkąta jest więc równe

$1 1 d∘ -------- d 1 ∘ -------- P (d) = --adsin α = --⋅ -- 16 − d 2 ⋅d ⋅-= ---d3 16 − d2. 2 2 2 4 16$
Oczywiście musi być oraz (bo jest to cięciwa okręgu o promieniu ).
Odpowiedź:
Wzór funkcji możemy przekształcić następująco
$∘ -------- ∘ ------------ ∘ ---------- P (d) = 1-d3 16− d2 = -1- d6(16 − d2) = 1-- 16d6 − d8. 16 16 16$

Ponieważ jest funkcją rosnącą, wystarczy ustalić kiedy największą wartość przyjmuje funkcja

$f(d) = 1 6d6 − d8.$

Liczymy pochodną funkcji

$′ 5 7 5 2 f (d) = 9 6d − 8d = −-8d (d −-12) = = − 8d 5(d− 2√ 3)(d+ 2√ 3).$

Widać teraz, że w interesującym nas przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja (a więc też funkcja ) rośnie w przedziale i maleje w przedziale . Największą wartość pola otrzymamy więc dla . Pole trójkąta jest wtedy równe

$( √ -) √ -- √ -------- √ -- P 2 3 = 1--⋅(2 3)3 ⋅ 16− 12 = 3 3. 16$

Gdyby ktoś nie zauważył, to maksymalne pole otrzymaliśmy dla trójkąta równobocznego o boku .
Odpowiedź: ,