/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 3530138

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB | = 315 m oraz |CD | = 72 m . Wysokość trapezu jest równa 54 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość boku parkingu zwartego w podstawie AB , a przez b długość boku prostopadłego do podstawy AB .

Sposób I

Mamy wtedy

PABCD = PABFE + PEFCD 315-+-72- 315-+-a- a-+-72- 2 ⋅5 4 = 2 ⋅b + 2 ⋅(5 4− b) / ⋅2 2089 8 = 315b + ab + 54a + 3 888− ab− 72b 1701 0 = 243b + 54a / : 54 a = 315 − 4,5b.

Musimy więc wyznaczyć największą wartość funkcji

f (b) = ab = (3 15− 4,5b)b = 4,5 (70 − b)b

określonej dla b ∈ (0 ,60) . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla b = 70+2-0= 35 . Pole powierzchni parkingu jest wtedy równe

f (35) = 4,5 ⋅35 ⋅35 = 55 12,5 m 2.

Drugi bok parkingu ma długość

a = 3 15− 4,5b = 315 − 1 57,5 = 157 ,5 m .

Sposób II

Niech K będzie takim odcinkiem podstawy AB , że odcinek CK jest równoległy do AD . Niech L będzie punktem wspólnym odcinków EF i CK .

ZINFO-FIGURE

Mamy wtedy

LF = EF − EL = a− 72 KB = AB − AK = 315 − 72 = 24 3.

Trójkąty CLF i CKB są podobne w skali

54 − b k = ------- 54

(z prawej strony mamy iloraz wysokości tych trójkątów). Mamy zatem

5-4−--b= k = LF--= a-−-72- / ⋅243 5 4 KB 243 4 ,5(54− b) = a − 72 a = 350 − 4,5b .

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 35 m × 157,5 m , P = 5512,5 m 2

Wersja PDF