Zadanie nr 3530138
Działka ma kształt trapezu. Podstawy i
tego trapezu mają długości
oraz
. Wysokość trapezu jest równa 54 m, a jego kąty
i
są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie
tego trapezu, a dwa pozostałe –
oraz
– na ramionach
i
trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez długość boku parkingu zwartego w podstawie
, a przez
długość boku prostopadłego do podstawy
.
Sposób I
Mamy wtedy
![PABCD = PABFE + PEFCD 315-+-72- 315-+-a- a-+-72- 2 ⋅5 4 = 2 ⋅b + 2 ⋅(5 4− b) / ⋅2 2089 8 = 315b + ab + 54a + 3 888− ab− 72b 1701 0 = 243b + 54a / : 54 a = 315 − 4,5b.](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR4x.png)
Musimy więc wyznaczyć największą wartość funkcji
![f (b) = ab = (3 15− 4,5b)b = 4,5 (70 − b)b](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR5x.png)
określonej dla . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
. Pole powierzchni parkingu jest wtedy równe
![f (35) = 4,5 ⋅35 ⋅35 = 55 12,5 m 2.](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR8x.png)
Drugi bok parkingu ma długość
![a = 3 15− 4,5b = 315 − 1 57,5 = 157 ,5 m .](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR9x.png)
Sposób II
Niech będzie takim odcinkiem podstawy
, że odcinek
jest równoległy do
. Niech
będzie punktem wspólnym odcinków
i
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR17x.png)
Mamy wtedy
![LF = EF − EL = a− 72 KB = AB − AK = 315 − 72 = 24 3.](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR18x.png)
Trójkąty i
są podobne w skali
![54 − b k = ------- 54](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR21x.png)
(z prawej strony mamy iloraz wysokości tych trójkątów). Mamy zatem
![5-4−--b= k = LF--= a-−-72- / ⋅243 5 4 KB 243 4 ,5(54− b) = a − 72 a = 350 − 4,5b .](https://img.zadania.info/zad/3530138/HzadR22x.png)
Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: ,