/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 3626376

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku, przyjmijmy, że AB = 8 i AC = 6 .

PIC

Z podobieństwa trójkątów MNC i ABC mamy

MN---= AB-- MC AC --a--- 8- 4- 4- 6− b = 6 = 3 ⇒ a = 3 (6− b).

Musimy znaleźć taką wartość b ∈ (0,6) , dla której funkcja

4- 4- P (b) = ab = 3 (6− b)b = − 3 b(b− 6)

przyjmuje największą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, osiąga ona największą wartość w wierzchołku, czyli dla b = 3 (środek odcinka łączącego miejsca zerowe). Wtedy a = 4 .  
Odpowiedź: 3 cm x 4 cm

Wersja PDF