Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3906205

Z odcinka drutu o długości 4 m wykonano ramkę w kształcie rombu z jedną przekątną (zobacz rysunek).


PIC


Jaka powinna być długość tej przekątnej, aby pole powierzchni tego rombu było największe możliwe?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez x długość boku rombu.


PIC


Przekątna ma wtedy długość

d = 4− 4x.

Sposób I

Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- p(p − a)(p − b)(p − c)

na pole trójkąta o bokach długości a,b,c i obwodzie 2p . W naszej sytuacji mamy

 x+--x+--4−--4x- 4−--2x- p = 2 = 2 = 2 − x p − a = p − b = p− x = (2 − x) − x = 2− 2x p − c = (2 − x) − (4 − 4x ) = 3x − 2.

Pole rombu jest więc równe

 ∘ ------------------------- ∘ ------------------------ P = 2 (2 − x)(2 − 2x )2(3x − 2) = 4 (2− x)(1− x)2(3x − 2).

W tym miejscu zastanówmy się jeszcze jaka jest dziedzina tej funkcji. Muszą być spełnione warunki:

{ 4 − 4x > 0 ⇐ ⇒ x < 1 x + x > 4 − 4x ⇐ ⇒ 6x > 4 ⇐ ⇒ x > 2. 3

Dziedziną funkcji jest więc przedział (2 ) 3,1 .

Pozostało ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

f (x) = (2 − x)(1 − x)2(3x − 2 )

na przedziale ( ) 23,1 .

Jeżeli nie chcemy za dużo się naliczyć, to musimy wykazać się odrobiną sprytu. Zapiszmy wzór funkcji f w postaci

f(x ) = (2− x)(1− x)2(3x − 2) = 2 2 2 2 = (1− x) (6x − 4 − 3x + 2x ) = (1− x) (8x − 4 − 3x ).

Liczymy teraz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.

 ′ [ 2]′ 2 2 2 ′ f (x) = (1 − x ) ⋅(8x − 4 − 3x ) + (1 − x) ⋅(8x − 4 − 3x ) = 2 2 = − 2(1 − x )(8x − 4− 3x )+ (1− x) (8− 6x) = = 2(1 − x )(3x2 − 8x + 4)+ 2(1 − x)(1 − x)(4 − 3x ) = = 2(1 − x )(3x2 − 8x + 4+ 4− 7x + 3x2) = 2(1− x)(6x2 − 15x + 8).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

 2 Δ = 15 − √4⋅8-⋅6 = 2 25− 192 = 33 √ --- 15 − 33 1 5+ 33 x = ----------≈ 0,8 lub x = ---------- ≈ 1,7 . 1 2 12

Pochodna jest więc równa

 ( √ ---) ( √ ---) 15 − 33 15 + 33 f′(x ) = 12(1 − x) x− ---------- x− ---------- . 1 2 1 2

W interesującej nas dziedzinie funkcji pierwszy nawias jest zawsze dodatni, ostatni jest zawsze ujemny, więc pochodna jest dodatnia na przedziale (2 15− √33) 3, --12--- i ujemna na przedziale ( 15−√ 33- ) --12--,1 . W takim razie funkcja f rośnie w przedziale ( 2 15−√-33⟩ 3, 12 i maleje w przedziale ⟨15−√-33 ) 12 ,1 . Największe pole otrzymamy więc dla  -- 15−-√33- x = 12 . Przekątna ma wtedy długość

 √ --- √ --- √ --- 4− 4x = 4 − 4 ⋅ 15-−--3-3 = 4 − 15-−---3-3 = --3-3−-3-m . 12 3 3

Sposób II

Tak jak poprzednio dochodzimy do problemu wyznaczenia największej wartości funkcji

f(x) = (1 − x)2(2 − x )(3x− 2) = (1 − 2x + x2)(8x − 3x2 − 4) = = − 3x 4 + (6 + 8)x 3 + (− 3 − 16 − 4)x 2 + (8 + 8 )x − 4 = 4 3 2 = − 3x + 14x − 23x + 16x − 4.

Liczymy pochodną

f ′(x ) = − 12x3 + 42x2 − 46x + 16 = − 2(6x3 − 21x 2 + 23x− 8).

Szukamy teraz pierwiastków tego wielomianu – tak się szczęśliwie składa, że jednym z nich jest x = 1 . Dzielimy teraz ten wielomian przez (x− 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 6x − 21x + 23x − 8 = (6x − 6x ) − (15x − 15x )+ (8x− 8) = = 6x2(x − 1) − 15x (x− 1)+ 8 (x− 1) = 2 = (x− 1)(6x − 15x + 8).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

Δ = 152 − 4⋅8 ⋅6 = 2 25− 192 = 33 √ --- √ --- 15-−---33- 1-5+----33 x = 1 2 ≈ 0,8 lub x = 12 ≈ 1,7 .

Pochodna jest więc równa

 ( √ --) ( √ ---) ′ 15-−---33- 15-+---33- f (x) = − 12(x − 1) x− 1 2 x− 1 2 .

Dalszą część rozwiązania prowadzimy tak samo jak w sposobie I.

Sposób III

Pole rombu możemy oczywiście obliczyć bez użycia wzoru Herona. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przekątnej rombu

 ∘ --------------- ∘ -------------------- ∘ ------------- e = 2 x2 − (2− 2x)2 = 2 x2 − (4− 8x+ 4x2) = 2 8x − 4 − 3x2.

Pole rombu jest więc równe

 1 1 ∘ ------------- P = -de = -(4 − 4x )⋅2 8x − 4 − 3x2 = 2 2∘ ------------- ∘ ----------------------- = 4(1 − x) 8x − 4− 3x2 = 4 (1− x)2(8x − 4 − 3x2).

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w jednym z poprzednich sposobów.  
Odpowiedź: √ -- --33−3 m 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!