/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 4074999

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , w których suma długości dwóch sąsiednich boków i przekątnej jest równa 6. Niech x = |AB | .

  • Wykaż, że pole P prostokąta ABCD jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(1 8− 6x ) P (x) = ----------- 6− x
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

  • Jeżeli oznaczymy AD = a , to z twierdzenia Pitagorasa mamy
    2 2 2 BD = AB + AD 2 2 2 (6 − a − x) = x + a 36 + a2 + x2 − 12a − 1 2x+ 2ax = x 2 + a 2 36− 12x = 2a (6− x) ⇒ a = 18−--6x. 6− x

    Pole prostokąta ABCD jest więc równe

    18 − 6x x(1 8− 6x) PABCD = AB ⋅AD = x ⋅a = x ⋅--------= -----------. 6 − x 6 − x
  • Oczywiście musi być x > 0 oraz x < 6 (bo cały obwód ma być równy 6). Ponadto,
    18 − 6x 6(x − 3 ) 0 < AD = -------- = ---------, 6 − x x − 6

    czyli x < 3 . Dziedziną jest więc przedział (0,3) .  
    Odpowiedź: (0,3)

  • Liczymy pochodną funkcji P (x) = 36x−-12x2- 6−x .
    ′ (18x-−-6x-2)′ ⋅(6-−-x)-−-(18x-−-6x-2)⋅(6-−-x)′ P (x ) = (6 − x )2 = 2 = 6⋅ (3−--2x)-⋅(6−--x)−--(3x-−-x-)⋅-(−-1) = (6− x)2 2 2 2 = 6⋅ 18-−-12x-−-3x-+-2x--+--3x−--x--= 6 ⋅ x-−-1-2x+--18. (6− x)2 (6 − x)2

    Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.

    √ --2 Δ = 144 − 7√2 = 72 = (6 2) √ -- 1 2− 6 2 √ -- 12 + 6 2 √ -- x = ---------- = 6 − 3 2 lub x = ----------= 6+ 3 2. 2 2

    Widać teraz, że w przedziale (0,3 ) pochodna ma jedno miejsce zerowe √ -- x = 6 − 3 2 i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja P (x) rośnie w przedziale √ -- (0,6 − 3 2⟩ i maleje w przedziale √ -- ⟨6 − 3 2,3) . Największą wartość pola otrzymamy więc dla √ -- x = 6 − 3 2 . Drugi bok prostokąta ma wtedy długość

    -- -- 6(3 − x) 6(3√ 2 − 3) 6(6 − 3√ 2) √ -- AD = ---------= ----√-------= ------------= 6− 3 2. 6 − x 3 2 6

    To oznacza, że prostokąt ABCD jest wtedy kwadratem i jego pole jest równe

    √ -- √ -- √ -- PABCD = AB = (6 − 3 2)2 = 36 − 36 2 + 18 = 54− 36 2.

     
    Odpowiedź: √ -- AB = AD = 6 − 3 2 , √ -- PABCD = 54− 36 2

Wersja PDF