Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4244758

Suma długości dwóch sąsiednich boków w pewnym trójkącie jest równa 14, a kąt między tymi bokami ma miarę π6- . Wyznacz długości boków trójkąta tak, aby jego pole było największe. Oblicz pole tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Pole trójkąta jest równe (korzystamy ze wzoru na pole z sinusem)

P = 1bc sin 30∘ = 1b(14 − b). 2 4

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku paraboli, czyli dla b = 0+214-= 7 (w środku między pierwiastkami). Wtedy c = 14 − b = 7 i pole jest równe

 1- 49- P = 4 ⋅7⋅7 = 4 .

Obliczmy jeszcze długość trzeciego boku trójkąta – korzystamy z twierdzenia cosinusów.

a2 = b2 + c2 − 2bcco sα ( √ --) 2 2 --3- 2 √ -- a = 7 2 − 2 ⋅ 2 = 7 (2 − 3) ∘ -------- √ -- a = 7 2− 3.

 
Odpowiedź: Boki:  ∘ ----√--- 7 2 − 3, 7, 7 . Pole: 449

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!