Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4388232

W trójkąt prostokątny o kącie ostrym  ∘ 30 i przeciwprostokątnej długości 40 cm wpisujemy prostokąty w ten sposób, że jeden bok każdego z tych prostokątów zawiera się w przeciwprostokątnej trójkąta. Zbadaj który z tych prostokątów ma największe pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy boki prostokąta przez a i b .


PIC


Z definicji funkcji trygonometrycznych w odpowiednich trójkątach mamy

 -a-- = sin 30∘ = 1- ⇒ NB = 2a NB -- 2 -- AN √ 3 √ 3 ----= cos 30∘ = ---- ⇒ AN = ----b b √2-- 2 AB-- ∘ --3- √ -- CB = cos 30 = 2 ⇒ AB = 20 3.

Zatem

 √ -- √ -- √ -- 3 √ -- 3 20 3 = AB = AN + NB = --2-b+ 2a ⇒ a = 1 0 3− -4-b .

Pozostało wyznaczyć taką wartość b ∈ (0,40) , dla której funkcja

 ( -- √ --) √ -- P(b ) = ab = 10√ 3 − ---3b b = − --3(b − 40)b. 4 4

osiąga największą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 40, funkcja ta przyjmuje nawiększą wartość w wierzchołku, czyli dla b = 20 . Wtedy  √ -- a = 5 3 .  
Odpowiedź: Bok na przeciwprostokątnej: 20, drugi bok:  √ -- 5 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!