Zadanie nr 4822301

Arkusz blachy ma kształt trójkąta prostokątnego ABC , w którym |AB | = 4 m i |BC | = 2 m . Z tego arkusza należy wyciąć trójkąt równoramienny DBE w ten sposób, że punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i oraz |DE | = |BE | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz jaką długość powinna mieć podstawa trójkąta DBE tak, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie

Oznaczmy |DB | = x i niech będzie wysokością trójkąta EDB .

ZINFO-FIGURE

Musimy jakoś powiązać wysokość h = |EF| trójkąta EDB z długością jego podstawy. Korzystamy w tym celu z podobieństwa trójkątów ABC i AF E (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku ).

EF CB ----= ---- AF AB ( ) ----h-----= 2- ⇒ h = 1- 4 − x- = 2 − x-. 4− x+ x2 4 2 2 4

Pole trójkąta EDB jest więc równe

1- 1- ( x-) 1- P (x) = 2 ⋅DB ⋅h = 2 ⋅x ⋅ 2 − 4 = − 8x (x− 8).

Dziedziną tej funkcji jest przedział [0,4] . Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku, czyli dla