Zadanie nr 4822301
Arkusz blachy ma kształt trójkąta prostokątnego , w którym
i
. Z tego arkusza należy wyciąć trójkąt równoramienny
w ten sposób, że punkty
i
leżą odpowiednio na odcinkach
i
oraz
(zobacz rysunek).
Oblicz jaką długość powinna mieć podstawa trójkąta
tak, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to największe pole.
Rozwiązanie
Oznaczmy i niech
będzie wysokością trójkąta
.
Musimy jakoś powiązać wysokość trójkąta
z długością jego podstawy. Korzystamy w tym celu z podobieństwa trójkątów
i
(oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku
).
![EF CB ----= ---- AF AB ( ) ----h-----= 2- ⇒ h = 1- 4 − x- = 2 − x-. 4− x+ x2 4 2 2 4](https://img.zadania.info/zad/4822301/HzadR9x.png)
Pole trójkąta jest więc równe
![1- 1- ( x-) 1- P (x) = 2 ⋅DB ⋅h = 2 ⋅x ⋅ 2 − 4 = − 8x (x− 8).](https://img.zadania.info/zad/4822301/HzadR11x.png)
Dziedziną tej funkcji jest przedział . Jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
![x = 0+--8-= 4 m . 2](https://img.zadania.info/zad/4822301/HzadR13x.png)
Pole trójkąta jest wtedy równe
![P (4) = − 1-⋅4 ⋅(− 4) = 2 m 2. 8](https://img.zadania.info/zad/4822301/HzadR15x.png)
Odpowiedź: ,