Zadanie nr 5131914

Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym ∘ 6 0 równa się ( s > 0 ). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Oznaczmy – długość krótszej podstawy, – długość ramienia, – długość wysokości, – długość odcinka AD ′ .

Korzystamy z trójkąta prostokątnego AD ′D i obliczymy: a,c,h . Potem obliczamy też pole, w zależności od .

x-= cos60 ∘ = 1- ⇒ c = 2x c 2 h ∘ √ -- √ -- --= tg 60 = 3 ⇒ h = x 3 x 2c+ 2a+ 2x = 2s ⇒ a = s− c − x = s − 3x .

Możemy teraz obliczyć pole

√ -- √ -- PABCD = a-+-a+--2x-⋅h = 2s−--6x+--2x-⋅x 3 = 3x(s− 2x). 2 2

Wykres otrzymanej funkcji to parabola o ramionach skierowanych w dół. Jej wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie między miejscami zerowymi, czyli w połowie odcinka 1 ⟨0,2s⟩ . Największa wartość pola otrzymamy zatem dla x = s4 . Z poprzednich obliczeń mamy wtedy a = 14s , c = 12 s , a dłuższa podstawa to a+ 2x = s − x = 3s 4 . Pole trapezu jest wtedy równe