Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5131914

Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym  ∘ 6 0 równa się 2s (s > 0 ). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Oznaczmy a – długość krótszej podstawy, c – długość ramienia, h – długość wysokości, x – długość odcinka AD ′ .


PIC


Korzystając z trójkąta prostokątnego AD ′D wyliczymy a,c,h , a potem też pole, w zależności od x .

x-= cos60 ∘ = 1- ⇒ c = 2x c 2 h ∘ √ -- √ -- --= tg 60 = 3 ⇒ h = x 3 x 2c+ 2a+ 2x = 2s ⇒ a = s− c − x = s − 3x .

Możemy teraz policzyć pole

 √ -- √ -- PABCD = a-+-a+--2x-⋅h = 2s−--6x+--2x-⋅x 3 = 3x(s− 2x). 2 2

Wykres otrzymanej funkcji to parabola o ramionach skierowanych w dół. Jej wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie między miejscami zerowymi, czyli w połowie odcinka  1 ⟨0,2s⟩ . Największa wartość pola otrzymamy zatem dla x = s4 . Z poprzednich wyliczeń mamy wtedy a = 14s , c = 12s a dłuższa podstawa to a+ 2x = s − x = 3s 4 . Pole trapezu jest wtedy równe

 √ -- √ -- 3s2 P = 3x (s− 2x) = ------. 8

 
Odpowiedź: Podstawy: 1 3 4s,4s , ramiona: 1 2s , pole: √-3s2 8 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!