Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5502714

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu R należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez 2x długość krótszej podstawy i niech h = DE = CF będzie wysokością trapezu.


PIC


Jeżeli S jest środkiem półkola (czyli środkiem dolnej podstawy), to

SF = CD-- = x 2 FB = SB − SF = R − x ∘ ----------- ∘ -------- h = CF = CS2 − SF 2 = R 2 − x2

Pole trapezu jest więc równe

 ∘ -------- P(x) = AB--+-CD--⋅h = 2R-+-2x- ⋅h = (R + x ) R 2 − x 2. 2 2

Musimy wyznaczyć największą wartość tej funkcji określonej dla x ∈ (0,R ) , więc obliczymy pochodną P ′(x ) – zrobimy to na kilka różnych sposobów.

Sposób I

Liczymy pochodną (ze wzoru na pochodną iloczynu)

 ′ ′ ∘ -2----2- ∘ -----2-′ P (x) = (R + x) ⋅ R − x + (R + x )⋅( R − x ) = ∘ -------- − 2x R 2 − x 2 − xR − x2 = R2 − x2 + (R + x)⋅ -√--2----2-= ----√--------2-----= 2 R − x 16− x − 2x2 − xR + R 2 = ---√---2----2---. R − x

Rozkładamy teraz trójmian w liczniku.

 2 2 2 Δ = R + 8R = 9R R − 3R R R + 3R x = --------= -- ∨ x = -------- = −R − 4 2 ( −)4 2 2 R- − 2x − xR + R = − 2 x − 2 (x + R ).

Mamy zatem

 ( ) ′ − 2 x− R2- (x + R ) P (x) = -----√---2----2-----. R − x

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  ( R) x ∈ 0,2 i ujemna dla  ( ) x ∈ R2,R . W takim razie funkcja P(x ) rośnie w przedziale  ( ⟩ x ∈ 0, R2- i maleje w przedziale ⟨R-,R) 2 . Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla  R- x = 2 . Pole trapezu jest wtedy równe

 ( ) ( ) ∘ -------2- ∘ ---2- √ -- P R- = R + R- R2 − R-- = 3-R ⋅ 3R--= 3--3-R2. 2 2 4 2 4 4

Wysokość trapezu jest wtedy równa

 ∘ --------- √ -- ∘ --2----2 2 R2- --3- h = R − x = R − 4 = 2 R ,

a jego ramię ma długość

 ∘ ------------ ∘ ----------- ∘ -------------- 1 3 BC = BF 2 + FC 2 = (R − x)2 + h2 = -R 2 + -R 2 = R . 4 4

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do zależności

 ∘ -------- P(x ) = (R + x ) R2 − x2.

Ponieważ x > 0 możemy ten wzór zapisać w postaci

 ∘ -------- ∘ ------------------- P (x) = (R + x ) R 2 − x 2 = (R + x)2(R2 − x2).

Funkcja  √ - y = t jest rosnąca, więc wystarczy ustalić dla jakiej wartości x ∈ (0 ,R) największą wartość przyjmuje funkcja

f(x) = (R + x)2(R 2 − x 2).

Liczymy pochodną

 ′ 2 ′ 2 2 2 2 2 ′ f (x ) = [(R + x) ](R − x )+ (R + x) (R − x ) = = 2(R + x)(R 2 − x2)+ (R + x)2 ⋅(− 2x) = = 2(R + x)(R 2 − x2 − x(R + x)) = − 2(R + x )(2x2 + Rx − R 2).

Rozkładamy teraz trójmian w ostatnim nawiasie.

 2 2 2 Δ = R + 8R = 9R −R--−-3R-- −R--+-3R-- R- x = 4 = −R ∨ x = 4 = 2 ( R) 2x 2 + Rx − R 2 = 2 x − -- (x+ R). 2

Mamy zatem

 ( ) ( ) f′(x) = − 2 (R + x) ⋅2 x − R- (x + R ) = − 4(R + x)2 x − R- . 2 2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla x ∈ ( 0, R) 2 i ujemna dla  (R ) x ∈ 2,R . W takim razie funkcja P(x ) rośnie w przedziale  ( R⟩ x ∈ 0, 2- i maleje w przedziale ⟨ ) R,R 2 . Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla  R- x = 2 . Pole trapezu jest wtedy równe

 --------- ( R ) ( R) ∘ R 2 3√ 3R 2 P -- = R + -- R2 − --- = -------. 2 2 4 4

Długość ramienia trapezu obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie sprowadzamy rozwiązanie zadania do wyznaczenia największej wartości funkcji

 2 2 2 2 2 2 2 f (x ) = (R + x ) (R − x ) = (x + 2Rx + R )(R − x ) = 2 2 3 4 4 3 2 2 = R x + 2R x + R − x − 2Rx − R x = = −x 4 − 2Rx 3 + 2R3x + R 4.

w przedziale (0 ,R) . Tym razem pochodną obliczymy jednak nie korzystając ze wzoru na pochodną złożenia.

 ( ) f′(x ) = − 4x3 − 6Rx 2 + 2R3 = − 2 2x 3 + 3Rx 2 − R 3 .

Aby rozłożyć otrzymany wielomian szukamy jego pierwiastków. Łatwo zauważyć, że jednym z nich jest x = −R . Dzielimy więc ten wielomian przez (x + R ) . My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2x + 3Rx − R = (2x + 2Rx )+ (Rx + R x )− (R x + R ) = = (x + R )(2x 2 + Rx − R 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

Δ = R 2 + 8R2 = 9R 2 −R − 3R −R + 3R R x = ----------= −R ∨ x = ----------= -- 4 ( ) 4 2 2 2 R- 2x + Rx − R = 2 x − 2 (x+ R).

Mamy zatem

 ( ) ′ ( 3 2 3) 2 R- f(x ) = − 2 2x + 3Rx − R = − 4(R + x ) x− 2 .

Dalszą część rozwiązania prowadzimy tak jak w poprzednim sposobie.

 
Odpowiedź: AD = R ,  3√3 Pmax = -4-R 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!