Zadanie nr 5502714

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).

Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krótszej podstawy i niech h = DE = CF będzie wysokością trapezu.

Jeżeli jest środkiem półkola (czyli środkiem dolnej podstawy), to

SF = CD-- = x 2 FB = SB − SF = R − x ∘ ----------- ∘ -------- h = CF = CS2 − SF 2 = R 2 − x2

Pole trapezu jest więc równe

∘ -------- P(x) = AB--+-CD--⋅h = 2R-+-2x- ⋅h = (R + x ) R 2 − x 2. 2 2

Musimy wyznaczyć największą wartość tej funkcji określonej dla x ∈ (0,R ) , więc obliczymy pochodną P ′(x ) – zrobimy to na kilka różnych sposobów.

Sposób I

Liczymy pochodną (ze wzoru na pochodną iloczynu)

′ ′ ∘ -2----2- ∘ -----2-′ P (x) = (R + x) ⋅ R − x + (R + x )⋅( R − x ) = ∘ -------- − 2x R 2 − x 2 − xR − x2 = R2 − x2 + (R + x)⋅ -√--2----2-= ----√--------2-----= 2 R − x 16− x − 2x2 − xR + R 2 = ---√---2----2---. R − x

Rozkładamy teraz trójmian w liczniku.

2 2 2 Δ = R + 8R = 9R R − 3R R R + 3R x = --------= -- ∨ x = -------- = −R − 4 2 ( −)4 2 2 R- − 2x − xR + R = − 2 x − 2 (x + R ).

Mamy zatem

( ) ′ − 2 x− R2- (x + R ) P (x) = -----√---2----2-----. R − x

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla ( R) x ∈ 0,2 i ujemna dla ( ) x ∈ R2,R . W takim razie funkcja P(x ) rośnie w przedziale ( ⟩ x ∈ 0, R2- i maleje w przedziale ⟨R-,R) 2 . Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla R- x = 2 . Pole trapezu jest wtedy równe

( ) ( ) ∘ -------2- ∘ ---2- √ -- P R- = R + R- R2 − R-- = 3-R ⋅ 3R--= 3--3-R2. 2 2 4 2 4 4

Wysokość trapezu jest wtedy równa

∘ --------- √ -- ∘ --2----2 2 R2- --3- h = R − x = R − 4 = 2 R ,

a jego ramię ma długość

∘ ------------ ∘ ----------- ∘ -------------- 1 3 BC = BF 2 + FC 2 = (R − x)2 + h2 = -R 2 + -R 2 = R . 4 4

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do zależności

∘ -------- P(x ) = (R + x ) R2 − x2.

Ponieważ x > 0 możemy ten wzór zapisać w postaci

∘ -------- ∘ ------------------- P (x) = (R + x ) R 2 − x 2 = (R + x)2(R2 − x2).

Funkcja √ - y = t jest rosnąca, więc wystarczy ustalić dla jakiej wartości x ∈ (0 ,R) największą wartość przyjmuje funkcja

f(x) = (R + x)2(R 2 − x 2).

Liczymy pochodną

′ 2 ′ 2 2 2 2 2 ′ f (x ) = [(R + x) ](R − x )+ (R + x) (R − x ) = = 2(R + x)(R 2 − x2)+ (R + x)2 ⋅(− 2x) = = 2(R + x)(R 2 − x2 − x(R + x)) = − 2(R + x )(2x2 + Rx − R 2).

Rozkładamy teraz trójmian w ostatnim nawiasie.

2 2 2 Δ = R + 8R = 9R −R--−-3R-- −R--+-3R-- R- x = 4 = −R ∨ x = 4 = 2 ( R) 2x 2 + Rx − R 2 = 2 x − -- (x+ R). 2

Mamy zatem

( ) ( ) f′(x) = − 2 (R + x) ⋅2 x − R- (x + R ) = − 4(R + x)2 x − R- . 2 2

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla x ∈ ( 0, R) 2 i ujemna dla (R ) x ∈ 2,R . W takim razie funkcja P(x ) rośnie w przedziale ( R⟩ x ∈ 0, 2- i maleje w przedziale ⟨ ) R,R 2 . Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla R- x = 2 . Pole trapezu jest wtedy równe

--------- ( R ) ( R) ∘ R 2 3√ 3R 2 P -- = R + -- R2 − --- = -------. 2 2 4 4

Długość ramienia trapezu obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie sprowadzamy rozwiązanie zadania do wyznaczenia największej wartości funkcji

2 2 2 2 2 2 2 f (x ) = (R + x ) (R − x ) = (x + 2Rx + R )(R − x ) = 2 2 3 4 4 3 2 2 = R x + 2R x + R − x − 2Rx − R x = = −x 4 − 2Rx 3 + 2R3x + R 4.

w przedziale (0 ,R) . Tym razem pochodną obliczymy jednak nie korzystając ze wzoru na pochodną złożenia.

( ) f′(x ) = − 4x3 − 6Rx 2 + 2R3 = − 2 2x 3 + 3Rx 2 − R 3 .

Aby rozłożyć otrzymany wielomian szukamy jego pierwiastków. Łatwo zauważyć, że jednym z nich jest x = −R . Dzielimy więc ten wielomian przez (x + R ) . My zrobimy to grupując wyrazy.