/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 6138320

W kwadracie ABCD o boku długości 1 na boku AB wybrano punkt L . Na bokach BC i AD wybrano odpowiednio punkty M i K tak, że ∡KLM = 1 20∘ , a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku BC . Oblicz długości odcinków LK i LM , dla których pole trójkąta KLM jest największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy AL = x , wtedy LB = 1− x .

Sposób I

Z trójkątów prostokątnych ALK i BLM obliczamy długości boków LK i LM trójkąta KLM .

AL x 2x ----= cos 30∘ ⇒ LK = √--= √--- LK -32- 3 -LB- = cos30∘ ⇒ LM = 1−√--x-= 2−√--2x. LM --3 3 2

Pole trójkąta KLM jest więc równe (korzystamy ze wzoru z sinusem).

√ -- √ -- 1 1 2x 2 − 2x 3 3 P = -LK ⋅LM sin 120 ∘ = --⋅√---⋅--√---- ⋅----= ---x(1 − x ). 2 2 3 3 2 3

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 1. Największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku tej paraboli, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami: 0+1 1 x = -2--= 2 . Odcinki LK i LM mają wtedy długości.

√ -- LK = √2x-= √1--= --3- 3 3 3 2 − 2x 1 √ 3- LM = --√----= √---= ---. 3 3 3

Sposób II

Zamiast sprawdzać, kiedy pole trójkąta KLM jest największe, sprawdźmy kiedy pole pozostałej części kwadratu jest najmniejsze. Z trójkątów prostokątnych ALK i LBM mamy

√ -- KA-- ∘ --3- AL = tg 30 ⇒ KA = 3 x √ -- MB-- = tg 30∘ ⇒ MB = --3(1 − x). LB 3

Obliczamy teraz sumę pól trójkątów prostokątnych ALK i LBM oraz trapezu prostokątnego KMCD .

1 1 KD + MC P = --AL ⋅ AK + -LB ⋅BM + -----------⋅CD = 2 √ -- 2 √ -- 2 √ - √ - 1 3 1 3 1 − -33x + 1 − -33(1− x) = --x⋅ ---x + -⋅ (1− x )⋅ ---(1 − x) + ------------------------- ⋅1 = 2 2√ -3 2 2 √ --3 √ -- 2 x----3+--(1−--2x+--x-)--3-+-6−----3 = 6 = 2 √ 3x2 − 2√ 3x + 6 √ 3x2 − √ 3x + 3 = ------------------- = -----------------. 6 3

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość pola otrzymamy w wierzchołku tej paraboli, czyli dla

b √ 3- 1 x = − ---= -√---= --. 2a 2 3 2

Mamy wtedy

√ -- AL--= cos 30∘ ⇒ LK = √x-= √1--= --3- LK -3- 3 3 2 √ -- LB-- ∘ 1-−-x- -1-- --3- LM = cos30 ⇒ LM = √ 3 = √ --= 3 . -2- 3

 
Odpowiedź: √ - LK = LM = --3 3

Wersja PDF