Zadanie nr 6138320
W kwadracie o boku długości 1 na boku
wybrano punkt
. Na bokach
i
wybrano odpowiednio punkty
i
tak, że
, a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku
. Oblicz długości odcinków
i
, dla których pole trójkąta
jest największe.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Oznaczmy , wtedy
.
Sposób I
Z trójkątów prostokątnych i
obliczamy długości boków
i
trójkąta
.
![AL x 2x ----= cos 30∘ ⇒ LK = √--= √--- LK -32- 3 -LB- = cos30∘ ⇒ LM = 1−√--x-= 2−√--2x. LM --3 3 2](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR8x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe (korzystamy ze wzoru z sinusem).
![√ -- √ -- 1 1 2x 2 − 2x 3 3 P = -LK ⋅LM sin 120 ∘ = --⋅√---⋅--√---- ⋅----= ---x(1 − x ). 2 2 3 3 2 3](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR10x.gif)
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 1. Największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku tej paraboli, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami: . Odcinki
i
mają wtedy długości.
![√ -- LK = √2x-= √1--= --3- 3 3 3 2 − 2x 1 √ 3- LM = --√----= √---= ---. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR14x.gif)
Sposób II
Zamiast sprawdzać, kiedy pole trójkąta jest największe, sprawdźmy kiedy pole pozostałej części kwadratu jest najmniejsze. Z trójkątów prostokątnych
i
mamy
![√ -- KA-- ∘ --3- AL = tg 30 ⇒ KA = 3 x √ -- MB-- = tg 30∘ ⇒ MB = --3(1 − x). LB 3](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR18x.gif)
Obliczamy teraz sumę pól trójkątów prostokątnych i
oraz trapezu prostokątnego
.
![1 1 KD + MC P = --AL ⋅ AK + -LB ⋅BM + -----------⋅CD = 2 √ -- 2 √ -- 2 √ - √ - 1 3 1 3 1 − -33x + 1 − -33(1− x) = --x⋅ ---x + -⋅ (1− x )⋅ ---(1 − x) + ------------------------- ⋅1 = 2 2√ -3 2 2 √ --3 √ -- 2 x----3+--(1−--2x+--x-)--3-+-6−----3 = 6 = 2 √ 3x2 − 2√ 3x + 6 √ 3x2 − √ 3x + 3 = ------------------- = -----------------. 6 3](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR22x.gif)
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość pola otrzymamy w wierzchołku tej paraboli, czyli dla
![b √ 3- 1 x = − ---= -√---= --. 2a 2 3 2](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR23x.gif)
Mamy wtedy
![√ -- AL--= cos 30∘ ⇒ LK = √x-= √1--= --3- LK -3- 3 3 2 √ -- LB-- ∘ 1-−-x- -1-- --3- LM = cos30 ⇒ LM = √ 3 = √ --= 3 . -2- 3](https://img.zadania.info/zad/6138320/HzadR24x.gif)
Odpowiedź: