/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 6345449

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem (18−-2b)⋅√18b−81- P (b) = 2 .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

  • Jeżeli oznaczymy AB = 2a , to z podanego obwodu mamy
    2b + 2a = 18 ⇒ a = 9 − b.

    Stąd

    ∘ ------------ ∘ ------------- CD = AC 2 − AD 2 = b 2 − (9 − b)2 = ∘ --------------------- 2 2 √ --------- = b − (81 − 18b + b ) = 18b− 81

    i pole trójkąta ABC jest równe

    1 √ --------- P(b) = --⋅AB ⋅ CD = a ⋅CD = (9− b)⋅ 18b − 81. 2

    To oczywiście dokładnie to samo wyrażenie, które jest podane w treści zadania.

  • Oczywiście musi być b > 0 oraz b < 9 (bo cały obwód ma być równy 18). To jednak nie wszystko, bo b nie może być zbyt małe. Dokładniej,
    ( 9) 0 < CD 2 = 1 8b− 81 = 18 b − -- . 2

    Dziedziną jest więc przedział ( ) 9,9 2 .  
    Odpowiedź: (9 ) 2 ,9

  • Wzór funkcji y = P(b) możemy przekształcić następująco
    √ --------- ∘ ------------------ P(b) = (9− b )⋅ 18b − 8 1 = 9⋅ (9 − b)2 ⋅ (2b− 9).

    Ponieważ √ -- y = x jest funkcją rosnącą, wystarczy ustalić kiedy największą wartość przyjmuje funkcja

    2 f(b) = (9 − b) ⋅(2b− 9).

    Sposób I

    Liczymy pochodną funkcji

    f (b ) = (81− 18b + b2)(2b − 9) = 2b 3 − 4 5b2 + 324b − 729.

    Mamy zatem

    f′(b) = 6b2 − 90b + 32 4 = 6(b2 − 15b + 54)

    Rozkładamy teraz trójmian w nawiasie.

    Δ = 225− 216 = 9 15-−-3- 15-+-3- b = 2 = 6 lub b = 2 = 9.

    Stąd

    f′(b) = 6(b− 6)(b− 9).

    Widać teraz, że w przedziale ( 9 ) 2,9 pochodna ma jedno miejsce zerowe b = 6 i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja f(b) (a więc też funkcja P (b) ) rośnie w przedziale ( ⟩ 9,6 2 i maleje w przedziale ⟨6,9) . Największą wartość pola otrzymamy więc dla b = 6 . Podstawa trójkąta ma wtedy długość

    AB = 2a = 18 − 2b = 18− 12 = 6,

    czyli jest to trójkąt równoboczny.

    Sposób II

    Pochodną funkcji f(b) możemy też obliczyć korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.

    [ ]′ f ′(b) = (9− b)2 ⋅(2b − 9) + (9− b)2 ⋅(2b − 9)′ = = (− 1 8+ 2b )⋅(2b − 9) + (9 − b)2 ⋅2 = 2 = 2 (b− 9)⋅(2b − 9) + 2(b − 9) = = 2 (b− 9)[(2b− 9)+ (b− 9)] = = 2 (b− 9)(3b− 18) = 6(b − 9)(b − 6).

    Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
    Odpowiedź: Trójkąt równoboczny o boku b = 6 .

Wersja PDF