/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 6527786

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB | = 400 m oraz |CD | = 100 m . Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość boku parkingu zwartego w podstawie AB , a przez b długość boku prostopadłego do podstawy AB .

Sposób I

Mamy wtedy

PABCD = PABFE + PEFCD 100-+-400- 400-+-a- a-+-10-0 2 ⋅7 5 = 2 ⋅b + 2 ⋅ (75− b) / ⋅2 3750 0 = 400b + ab + 75a + 7 500− ab− 100b 3000 0 = 300b + 75a / : 75 a = 400 − 4b.

Musimy więc wyznaczyć największą wartość funkcji

f (b) = ab = (40 0− 4b )b = 4(100 − b)b

określonej dla b ∈ (0 ,75) . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla b = 100+2-0= 50 . Pole powierzchni parkingu jest wtedy równe

f(50) = 4 ⋅50 ⋅50 = 1 0000 m 2.

Drugi bok parkingu ma długość

a = 400− 4b = 40 0− 2 00 = 200 m .

Sposób II

Niech K będzie takim odcinkiem podstawy AB , że odcinek CK jest równoległy do AD . Niech L będzie punktem wspólnym odcinków EF i CK .

ZINFO-FIGURE

Mamy wtedy

LF = EF − EL = a − 100 KB = AB − AK = 400 − 10 0 = 300.

Trójkąty CLF i CKB są podobne w skali

75 − b k = ------- 75

(z prawej strony mamy iloraz wysokości tych trójkątów). Mamy zatem

75-−-b-= k = LF--= a−--100- /⋅ 300 75 KB 300 4(75 − b) = a − 10 0 a = 4 00− 4b.

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 50 m × 200 m , P = 10000 m 2

Wersja PDF