Zadanie nr 6781389

Budżet przeznaczony na ogrodzenie pewnej działki w kształcie trójkąta równoramiennego ABC ( |AC | = |BC | ) wynosi 12 000 zł.

Ze względu na warunki terenowe, koszt wykonania 1 metra bieżącego ogrodzenia jest różny dla każdego z boków trójkąta ABC i wynosi odpowiednio: 140 zł dla boku , 100 zł dla boku i 360 zł dla boku . Oblicz jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby odgradzało ono działkę o największym możliwym polu powierzchni. Wymiary podaj z dokładnością do 1 metra.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AC = BC = b i AB = c .

Podana informacja o budżecie przeznaczonym na wykonanie ogrodzenia prowadzi do równania

1200 0 = 140b + 100b + 360c = 240b + 3 60c / : 120 3 10 0 = 2b + 3c ⇒ b = 5 0− -c. 2

Wysokość trójkąta ABC jest więc równa

∘ ------------------ ∘ ------------ ∘ -----(--)-- ( ) 2 2 h = BC 2 − BD 2 = b2 − c- 2 = 5 0− 3c − c- = 2 2 4 ∘ ------------------------ ∘ ------------------ = 250 0− 150c+ 9c2 − c2 = 2500 − 1 50c+ 2c2. 4 4

Obliczmy teraz pole trójkąta ABC .

1 1 ∘ -----------------2 P(c) = 2-AB ⋅h = 2-⋅c ⋅ 250 0− 150c+ 2c = √ --∘ ------------------- = --2- 125 0c2 − 7 5c3 + c4. 2

Wystarczy zatem ustalić dla jakiej wartości otrzymamy największą możliwą wartość funkcji

2 3 4 f(c) = 12 50c − 75c + c .

Zastanówmy się jeszcze jaka jest dziedzina tej funkcji. Oczywiście musi być c > 0 oraz

1-c = BD < BC = b = 50 − 3-c 2 2 2c < 50 ⇐ ⇒ c < 25.

Dziedziną funkcji jest więc przedział (0,25) . Liczymy pochodną

f′(c) = 2500c − 2 25c2 + 4c3 = c(2500 − 225c + 4c2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

--- Δ = 2252 − 4⋅ 2500 ⋅4 = 106 25 = (25√ 17 )2 √ --- √ --- 225 − 25 17 225 + 2 5 17 100 c1 = ------8------ ≈ 15,2 , c2 = ------8------ ≈ 4 1 > -3--.

Mamy zatem

( √ --) ( √ --) f′(c) = c c− 225-−-25---17 c − 22-5+-2-5--17 . 8 8

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( 225−25√17) 0, 8 i ujemna w przedziale ( √-- ) 225−25-17 8 ,25 . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( √--] 0, 225−25-17 8 i maleje w przedziale [ √-- ) 225−25-17,25 8 . Największą wartość pola otrzymamy więc dla √ -- c = 225−25--17 8 . Mamy wtedy