/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 6820951

W trójkąt prostokątny ABC , w którym |AB | = 2 6 , |BC | = 24 , |AC | = 10 , wpisujemy prostokąty CDEF , tak, że punkt D należy do boku AC , pkt E należy do boku AB i punkt F należy do boku BC . Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Z podobieństwa trójkątów BF E i BCA mamy

BF- = BC-- F E CA 24-−-a- 24- b = 10 240 − 10a = 24b 120 − 5a = 12b 1 2 a = 24 − ---b. 5

Zatem pole prostokąta jest równe

( 12 ) 12 P = ab = 2 4− --b b = ---(−b 2 + 10b ). 5 5

Jest to więc parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość pola otrzymamy więc w wierzchołku praboli, czyli dla b = −−120= 5 . Wtedy a = 12 .  
Odpowiedź: Boki prostokąta: 5 i 12

Wersja PDF