/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 7180228

Długości boków prostokąta ABCD spełniają warunki: 2|AD | ≤ |CD | i |CD | = 3 . Na boku CD wybrano punkty E i F w ten sposób, że |DE | = |FC | = |AD | . Punkt G jest takim punktem odcinka AE , że |AG | : |GE | = 2 : 1 . Oblicz długość boku AD prostokąta, dla której pole trójkąta F GB jest największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Pole trójkąta FGB obliczymy odejmując od pola prostokąta pola 4 białych trójkątów (inny sposób to od pola trapezu ABF E odjąć pola trójkątów ABG i EGF ).

PFGB = PABCD − PABG − PEGF − PAED − PFBC = 1 2 1 1 1 1 = 3x − --⋅3 ⋅-x − --⋅(3− 2x)⋅ -x − -x2 − --x2 = 2 3 2 3 2 2 x- x2- x2- x2- = 3x − x − 2 + 3 − 2 − 2 = ( ) = − 2x2 + 3-x = − 2-x x − 9- . 3 2 3 4

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje dokładnie w środku między pierwiastkami, czyli dla x = 9 8 .  
Odpowiedź: 9 |AD | = 8

Wersja PDF