Zadanie nr 7627989

Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , które są jednoczenie wpisane w okrąg i opisane na okręgu, w których |AB | = 2x , |BC | = 5x , i których obwód jest równy 10.

Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg można obliczyć ze wzoru Brahmagupty

∘ ----------------------------- P = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d ),

gdzie – jest połową obwodu czworokąta.

Zapisz pole czworokąta ABCD jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych czworokątów, którego pole jest największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy czworokąt ABCD .

ZINFO-FIGURE

Ponieważ czworokąt jest opisany na okręgu, sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Sumy te muszą być równe połowie obwodu p = 120= 5 i mamy

CD = 5 − 2x AD = 5 − 5x

Pole czworokąta jest więc równe

∘ ---------------------------------------------- P = (5 − 2x)(5 − 5x )(5− (5 − 2x ))(5− (5− 5x)) = ∘ -------------------------- 2 √ --- ∘ ---4-----3-----2 = (25 − 35x + 1 0x )⋅2x ⋅5x = 50 ⋅ 2x − 7x + 5x

Aby wyznaczyć dziedzinę zauważmy, że oczywiście x > 0 , oraz CD > 0 i AD > 0 . Dziedziną tej funkcji jest więc przedział (0,1) .

Liczymy teraz pochodną funkcji

f(x ) = -1-⋅P 2(x) = 2x4 − 7x 3 + 5x 2 50 f ′(x ) = 8x3 − 21x2 + 10x = x(8x 2 − 21x + 10).

Rozkładamy trójmian w nawiasie.

Δ = 212 − 4⋅8 ⋅10 = 121 21−--11- 5- 21+--11- x = 16 = 8 lub x = 16 = 2 .

Mamy zatem

( ) ′ 5- f (x) = 8x x − 8 (x− 2)

To oznacza, że w przedziale (0,1 ) pochodna: jest dodatnia dla ( 5) x ∈ 0,8 i ujemna dla ( 5 ) x ∈ 8,1 . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( ⟩ 0, 5 8 i maleje w przedziale ⟨ ) 5,1 8 . W takim razie największą wartość pola otrzymamy dla 5 x = 8 . Długości boków czworokąta są wtedy równe