Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7627989

Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , które są jednoczenie wpisane w okrąg i opisane na okręgu, w których |AB | = 2x , |BC | = 5x , i których obwód jest równy 10.

Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg można obliczyć ze wzoru Brahmagupty

 ----------------------------- ∘ P = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d ),

gdzie p – jest połową obwodu czworokąta.

Zapisz pole czworokąta ABCD jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych czworokątów, którego pole jest największe.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy czworokąt ABCD .


PIC


Ponieważ czworokąt jest opisany na okręgu, sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Sumy te muszą być równe połowie obwodu p = 120= 5 i mamy

 CD = 5 − 2x AD = 5 − 5x

Pole czworokąta jest więc równe

 ∘ ---------------------------------------------- P = (5 − 2x)(5 − 5x )(5− (5 − 2x ))(5− (5− 5x)) = ∘ -------------------------- √ --- ∘ ---------------- = (25 − 35x + 1 0x2)⋅2x ⋅5x = 50 ⋅ 2x 4 − 7x 3 + 5x2

Aby wyznaczyć dziedzinę zauważmy, że oczywiście x > 0 , oraz CD > 0 i AD > 0 . Dziedziną tej funkcji jest więc przedział (0,1) .

Liczymy teraz pochodną funkcji

 -1- 2 4 3 2 f(x ) = 50 ⋅P (x) = 2x − 7x + 5x ′ 3 2 2 f (x ) = 8x − 21x + 10x = x(8x − 21x + 10).

Rozkładamy trójmian w nawiasie.

 2 Δ = 21 − 4⋅8 ⋅10 = 121 21−--11- 5- 21+--11- x = 16 = 8 lub x = 16 = 2 .

Mamy zatem

 ( ) f′(x) = 8x x − 5- (x− 2) 8

To oznacza, że w przedziale (0,1) pochodna: jest dodatnia dla  ( ) x ∈ 0, 5 8 i ujemna dla  ( 5 ) x ∈ 8,1 . To oznacza, że funkcja f rośnie w przedziale ( ⟩ 0, 58 i maleje w przedziale ⟨ ) 58,1 . W takim razie największą wartość pola otrzymamy dla x = 5 8 . Długości boków czworokąta są wtedy równe

 5 AB = 2x = 4- 25 BC = 5x = --- 8 5- 15- CD = 5 − 2x = 5− 4 = 4 25 15 AD = 5 − 5x = 5− ---= --. 8 8

 
Odpowiedź:  √ --- √ --4------3-----2 P (x) = 50 ⋅ 2x − 7x + 5x dla x ∈ (0,1) , boki: 54, 285, 145, 185 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!