Zadanie nr 8006564
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
-
Wykaż, że pole trapezu jako funkcja długości odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem
-
Wyznacz dziedzinę funkcji .
-
Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.
Rozwiązanie
Szkicujemy trapez równoramienny.
-
Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez i , to jak wiadomo,
Ponadto,
więc
i pole trapezu jest równe
-
Oczywiście oraz , czyli . Dziedziną funkcji jest więc przedział .
Odpowiedź: -
Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji
Funkcja jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją
Liczymy pochodną
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale . Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla . Pole jest wtedy równe
Odpowiedź: .