Zadanie nr 8219797

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC ( |AC | = |BC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 1 . Niech oznacza odległość środka okręgu od podstawy trójkąta.

Wykaż, że pole każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości , wyraża się wzorem .
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz długość odcinka tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Jeżeli jest wysokością trójkąta opuszczoną na podstawę i środkiem okręgu opisanego na trójkącie , to
$∘ ---2------2- ∘ -----2- AB = 2AD = 2 AS − SD = 2 1 − x .$

Pole trójkąta jest więc równe

$1 1 ∘ -----2- ∘ -----2- PABC (x) = 2-AB ⋅CD = 2 ⋅ 2 1 − x ⋅(x + 1) = (x + 1) 1− x .$
Oczywiście musi być oraz (patrzymy na trójkąt prostokątny ).
Odpowiedź:
Wzór funkcji możemy przekształcić następująco
$------- ∘ ----------------- ∘ ---------------- ∘ 2 2 2 3 P (x) = (x + 1) 1− x = (x + 1) (1 − x ) = (x + 1) (1 − x).$

Ponieważ jest funkcją rosnącą, wystarczy ustalić kiedy największą wartość przyjmuje funkcja

$3 f(x ) = (x+ 1) ⋅(1 − x ).$

Sposób I

Liczymy pochodną funkcji

$3 3 2 f(x ) = (x+ 1) ⋅ (1 − x ) = (x + 3x + 3x + 1)(1 − x ) = 3 2 4 3 2 = x + 3x + 3x + 1 − (x + 3x + 3x + x ) = = −x 4 − 2x3 + 2x + 1.$

Mamy zatem

$f′(x) = − 4x3 − 6x2 + 2 = − 2 (2x3 + 3x2 − 1).$

Widać gołym okiem, że jednym z pierwiastków otrzymanego wielomianu jest . Dzielimy więc ten wielomian przez . My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

$3 2 3 2 2 2x + 3x − 1 = (2x + 2x )+ (x + x)− (x+ 1) = = 2x 2(x+ 1)+ x(x + 1) − (x + 1) = 2 = (x + 1 )(2x + x− 1).$

Rozkładamy teraz trójmian w nawiasie.

$Δ = 1+ 8 = 9 −-1−--3 −-1+--3 1- x = 4 = − 1 lub x = 4 = 2 .$

Stąd

$( 1 ) f′(x ) = − 4(x + 1)2 x − -- . 2$

Widać teraz, że w przedziale pochodna ma jedno miejsce zerowe i zmienia w tym punkcie znak z dodatniego na ujemny. W takim razie funkcja (a więc też funkcja ) rośnie w przedziale i maleje w przedziale . Największą wartość pola otrzymamy więc dla . Pole trójkąta jest wtedy równe

$∘ ------ -- -- ( 1 ) ( 1 ) 1 3 √ 3 3 √ 3 P -- = -+ 1 1 − --= --⋅ ----= -----. 2 2 4 2 2 4$

Gdyby ktoś nie zauważył, to maksymalne pole otrzymaliśmy dla trójkąta równobocznego o boku .

Sposób II

Pochodną funkcji możemy też obliczyć korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.

$′ [ 3] ′ 3 ′ f (x) = (x + 1) ⋅(1− x)+ (x+ 1) ⋅(1 − x ) = 2 3 = 3(x + 1) ⋅(1 − x) − (x + 1) = = (x + 1)2 (3(1− x)− (x+ 1)) = ( ) = (x + 1)2(− 4x + 2 ) = − 4(x+ 1)2 x − 1- . 2$

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: ,