/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 8762368

Ratownicy mający do dyspozycji linę o długości 80 metrów mają wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta (wzdłuż brzegu nie będzie liny). Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko, jeżeli wczasowicze chcą, aby miało ono jak największą powierzchnię? Należy przyjąć, że brzeg plaży tworzy linię prostą.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie opisaną sytuację i oznaczmy boki odgrodzonego kąpieliska przez a i b .

PIC

Wiemy, że 2a+ b = 80 , a chcemy znaleźć maksymalną wartość wyrażenia ab (pole kąpieliska). W tym celu musimy znaleźć punkt, w którym przyjmuje wartość największą funkcja

f(a) = ab = a(80 − 2a) = − 2a (a− 4 0) dla a ∈ (0,40).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 40. Zatem wartość największą przyjmuje ta funkcja w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie a = 20 (środek odcinka łączącego miejsca zerowe)  
Odpowiedź: 20 m × 40 m

Wersja PDF