Zadanie nr 8998621

Rozpatrujemy trapezy równoramienne ABCD o przekątnej długości 1 i sumie długości podstaw równej . Zapisz pole trapezu ABCD jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz sumę długości podstaw tego z rozważanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.

Zauważmy, że

AE = AB--−-CD--, 2

więc

AB − CD AB + CD x BE = CD + AE = CD + ----------= ----------= -- 2 2 2

i pole trapezu jest równe

∘ -----2- ∘ -------4 P (x) = AB--+--CD- ⋅h = x-⋅ h = x-⋅ 1− x--= 1- x 2 − x-. 2 2 2 4 2 4

Aby wyznaczyć dziedzinę tej funkcji zauważmy, że oczywiście x > 0 oraz BE < BD , czyli x < 2 . Dziedziną jest więc przedział (0 ,2) .

Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość tej funkcji. Funkcja √ -- y = x jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją

4 f(x ) = x2 − x-. 4

Liczymy pochodną

√ -- √ -- f′(x) = 2x− x3 = −x (x 2 − 2) = −x (x− 2)(x + 2).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale √ -- (0, 2) i ujemna w przedziale √ -- ( 2,2) . To oznacza, że funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale √ -- (0 , 2⟩ i malejąca w przedziale √ -- ⟨ 2,2) . Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla √ -- x = 2 . Pole jest wtedy równe