Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8998621

Rozpatrujemy trapezy równoramienne ABCD o przekątnej długości 1 i sumie długości podstaw równej x . Zapisz pole trapezu ABCD jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz sumę długości podstaw tego z rozważanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.


PIC


Zauważmy, że

AE = AB--−-CD--, 2

więc

 AB − CD AB + CD x BE = CD + AE = CD + ----------= ----------= -- 2 2 2

i pole trapezu jest równe

 ∘ -----2- ∘ -------4 P (x) = AB--+--CD- ⋅h = x-⋅ h = x-⋅ 1− x--= 1- x 2 − x-. 2 2 2 4 2 4

Aby wyznaczyć dziedzinę tej funkcji zauważmy, że oczywiście x > 0 oraz BE < BD , czyli x < 2 . Dziedziną jest więc przedział (0 ,2) .

Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość tej funkcji. Funkcja  √ -- y = x jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją

 4 f(x ) = x2 − x-. 4

Liczymy pochodną

 √ -- √ -- f′(x) = 2x− x3 = −x (x 2 − 2) = −x (x− 2)(x + 2).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale  √ -- (0, 2) i ujemna w przedziale  √ -- ( 2,2) . To oznacza, że funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale  √ -- (0 , 2⟩ i malejąca w przedziale  √ -- ⟨ 2,2) . Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla  √ -- x = 2 . Pole jest wtedy równe

 √ -- ∘ ------ √ -- √ -- 2 1 2 1 1 P( 2) = ----⋅ 1 − --= ----⋅√---= --. 2 2 2 2 2

 
Odpowiedź:  ∘ ------- P (x) = x ⋅ 1 − x2 2 4 dla x ∈ (0 ,2) ,  √ -- 1 Pmax = P( 2) = 2 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!