/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 9538907

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Z kawałka blachy należy wyciąć figurę w kształcie trapezu prostokątnego. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 6 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 16 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni figury było największe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez prostokątny.

ZINFO-FIGURE

Oznaczmy długość krótszej podstawy trapezu przez x . Wtedy oczywiście x ∈ (0 ,6) (bo ma to być krótsza podstawa). Pole trapezu jest równe

AB--+-CD-- 6-+-x- 1- P(x ) = 2 ⋅h = 2 ⋅(16 − x) = − 2(x + 6)(x − 16 ).

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie

x = −-6+--16-= 1-0 = 5. 2 2

Największą wartość pola otrzymamy więc dla x = 5 . Pole jest wtedy równe

2 P (5) = − 1(5 + 6 )(5− 1 6) = 11--= 121-= 60,5 dm 2. 2 2 2

 
Odpowiedź: Podstawa: 5 dm, pole: 60,5 dm 2

Wersja PDF