Zadanie nr 6118858
Spośród wszystkich trapezów, w których iloczyn długości podstaw jest równy 
, a pole jest równe 
wybrano ten, który ma najdłuższą wysokość. Wykaż, że przekątne wybranego trapezu dzielą się na połowy.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez 
i 
długości podstaw trapezu, a przez 
jego wysokość.
Pole trapezu jest równe
Musimy teraz wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji
w przedziale 
. Liczymy pochodną
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla 
i ujemna dla 
. To oznacza, że funkcja 
jest rosnąca w przedziale 
i malejąca w przedziale 
. Najdłuższą wysokość otrzymamy więc dla 
.
Zauważmy teraz, że jeżeli 
, to druga podstawa trapezu ma długość
To z kolei oznacza, że trapez ten jest równoległobokiem, co w szczególności oznacza, że jego przekątne dzielą się na połowy.
