Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1199943

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku boków 1:3. Objętość bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą powierzchnię.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a i 3a długości krawędzi podstawy prostopadłościanu, a przez b długość jego wysokości.


PIC


Z podanej objętości mamy

12 = a ⋅3a⋅ b ⇒ b = -4-. a 2

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

 ( 16) Pc = 2(3a2 + ab + 3ab ) = 2(3a2 + 4ab) = 2 3a2 + --- . a

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji f(a) = 3a2 + 16a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

 ( ) ′ 1 6 6a 3 − 1 6 6 a3 − 83 f (a) = 6a − --2 = -----2--- = -----2----. a a a

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla  ( ) ∘3 8- a ∈ 0, 3 i dodatnia dla  ( ∘ -- ) a ∈ 3 8,+ ∞ 3 . To oznacza, że funkcja f jest malejąca w przedziale ( -⟩ ∘3 8 0 , 3 i rosnąca w przedziale ⟨ -- ) ∘38 3 ,+∞ . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla  ∘ -- ∘ --- 3√- a = 3 83 = 3 82⋅97-= 239- . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości  √3-- 3a = 2 9 i

 4 4 4 4 √ -- b = ---= (----)---= (---)--= ----= 3 9. a2 3∘ 8- 2 √2- 2 √43- 3 33 9

Pole powierzchni całkowitej dla tych długości krawędzi jest równe

 -- 2 3√ 9 ( √ -- √ --) √3--- √ -- Pc = 2a (3a + 4b) = 2 ⋅-----⋅ 2 39 + 4 39 = 8 81 = 24 33. 3

 
Odpowiedź: Długości krawędzi:  3√- √ -- √ -- 2-9, 2 39, 3 9 3 , pole powierzchni:  √3-- 24 3 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!