Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2035964

Rozważamy wszystkie walce o objętości V . Wyznacz wysokość i promień podstawy tego z rozważanych walców, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy walec – oznaczmy jego wysokość i promień podstawy przez H i r odpowiednio.


PIC


Z podanej objętości mamy

πr2H = V ⇒ H = -V--. πr2

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca.

 ( V ) P = 2 πr2 + 2πrH = 2π r2 + --- . πr

Musimy zatem wyznaczyć wartość najmniejszą funkcji  V f (r) = r2 + πr na przedziale (0 ,+∞ ) . Liczymy pochodną

 ′ -V-- 2-πr3-−-V- r3 −-V2π- f (r) = 2r − πr 2 = πr 2 = 2π ⋅ πr2 .

Widzimy zatem, że na przedziale ( ∘ --) 3 V-- 0, 2π pochodna jest ujemna, czyli f (r) maleje, a w przedziale (∘ --- ) 3 V2π,+ ∞ pochodna jest dodatnia, czyli f(r) rośnie. Zatem najmniejszą możliwą wartość f(r) otrzymamy dla  ∘ --- r = 3 -V- 2π . Wtedy

 ∘ ---2- ∘ ---- H = -V-- = V- ⋅ 3 4π--= 3 4V- . πr 2 π V 2 π

Pole powierzchni całkowitej jest wtedy równe

 ( ) 3 V- ∘ ---- √ ------ Pc = 2π r2 + V-- = 2 ⋅ πr-+--V-= 2 ⋅2∘+--V-= 3V ⋅ 3 2π- = 3 32πV 2. πr r 3 -V- V 2π

 
Odpowiedź:  ∘ --- 3 V-- r = 2π ,  ∘ --- 3 4V- H = π ,  √ ------ Pc = 3 3 2πV 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!