Zadanie nr 4724176

Zakład produkcyjny planuje wytwarzanie pojemników o objętości 3 1728 dm , które mają kształt otwartego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (bez górnej podstawy – zobacz rysunek).

Koszt produkcji 2 1 dm podstawy tego pojemnika wynosi 0,3 zł, a koszt produkcji 1 dm 2 jego ścian bocznych wynosi 0,2 zł. Ponadto, do kosztu produkcji należy doliczyć niezbędne wzmocnienie krawędzi podstawy w cenie 4,2 zł za 1 dm długości. Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika tak, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy, a przez wysokość prostopadłościanu. Z podanej objętości mamy więc

1728 = a2 ⋅H ⇒ H = 1728-. a2

Liczymy teraz koszt wyprodukowania pojemnika

138 2,4 K (a) = a2 ⋅ 0,3+ 4aH ⋅0 ,2+ 4,2⋅4a = 0,3a2 + -------+ 16,8a. a

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,+ ∞ ) . Interesuje nas jej wartość najmniejsza, więc liczymy pochodną

′ 1382,4- 0,6a-3 −-13-82,4+-16,8a2 K (a) = 0 ,6a − a2 + 1 6,8 = a2 = 3 2 = 0 ,6 ⋅ a-+-28a--−-2-304. a2

Teraz jest trochę zabawy – musimy znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek licznika – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego 23 04 = 28 ⋅32 . Najmniejszy z pierwiastków dodatnich to a = 8 . Dzielimy teraz wielomian w liczniku przez (a − 8) – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 a + 28a − 2304 = a − 8a + (3 6a − 288a) + (288a − 230 4) = = a2(a− 8)+ 3 6a(a− 8)+ 288(a − 8) = (a − 8)(a2 + 36a + 28 8).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

2 2 Δ = 36 − 4 ⋅288 = 12 96− 1152 = 1 44 = 12 −-36-−-12- −-36-+-1-2 a = 2 = − 24 lub a = 2 = − 12.

Pochodna jest więc równa

′ (a−--8)(a+--12)(a+--24)- K (a) = 0,6⋅ a2 .

To oznacza, że pochodna jest ujemna dla a ∈ (0,8) i dodatnia dla a ∈ (8,+ ∞ ) . Funkcja jest więc malejąca dla a ∈ (0 ,8⟩ i rosnąca dla a ∈ ⟨8,+ ∞ ) . Najmniejszy koszt pojemnika otrzymamy więc dla x = 8 dm . Wysokość graniastosłupa jest wtedy równa