Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5078090

Firma logistyczna planuje produkcję pojemników w kształcie graniastosłupa prostego o objętości 3 m 3 i podstawie będącej prostokątem, w którym jeden z boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Koszt materiału potrzebnego do produkcji ścian bocznych tego pojemnika wynosi 40 zł za m 2 , a koszt materiału potrzebnego do produkcji jego górnej i dolnej podstawy wynosi 60 zł za  2 m . Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy graniastosłup.


PIC


Zapiszmy podaną informację o objętości graniastosłupa.

3 = a ⋅4a⋅ H ⇒ H = -3--. 4a2

Koszt produkcji takiego pojemnika jest więc równy

K (a) = 2(a⋅ H ⋅40 + 4a ⋅H ⋅40+ 4a ⋅a⋅6 0) = ( ) ( ) 2 15a- 2 5-- 2 = 80(5aH + 6a ) = 8 0⋅ 4a 2 + 6a = 240 ⋅ 4a + 2a .

Wystarczy więc znaleźć wartość najmniejszą funkcji

 ( ) f(a) = 5--+ 2a2 4a

określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

 ( 3 5) ′ −-5- −-5+--16a3- 16-a--−--16-- f(a ) = 4a2 + 4a = 4a 2 = 4a2 .

Widać teraz, że pochodna ma jedno miejsce zerowe

 ∘ --- ∘ --- √3--- a = 3 -5-= 3 20-= --20- 16 64 4

i pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w tym punkcie. To oznacza, że funkcja f maleje w przedziale ( ⟩ √320 0, 4 i rośnie w przedziale ⟨ √-- ) -320 4 ,+ ∞ . Najmniejszy koszt produkcji pojemnika otrzymamy więc dla  √-- a = 320- 4 . Pozostałe krawędzie prostopadłościanu mają wtedy długości

 √ --- 4a = 320 3√ --- 3√ --- -3-- ----3---- ---12---- 1-2--20 3--20- H = 4a2 = 3√-20⋅20 = 3√ 20⋅2-0-= 20 = 5 4 ⋅ 16

 
Odpowiedź: Podstawa:  3√-- √ --- --240 m × 3 20 m , wysokość: 33√20- 5 m

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!